Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur une application concrète de l'arithmétique : la recherche du plus grand diviseur commun (PGCD). Bien que les notions d'arithmétique pure soient approfondies en option Mathématiques Expertes, la maîtrise des diviseurs et des algorithmes de calcul reste un socle fondamental pour tout élève en Première Spécialité, notamment pour l'algorithmique et la simplification d'expressions.
Points de vigilance et notions requises
Pour résoudre ce problème, il est essentiel d'identifier les contraintes suivantes :
- L'identicité : Chaque panier doit contenir exactement le même nombre d'éléments de chaque type, ce qui impose que le nombre de paniers soit un diviseur commun des quantités totales.
- L'optimalité : On cherche le 'plus grand nombre possible', ce qui définit la recherche du PGCD.
- L'absence de reste : Cette condition confirme que nous travaillons avec des divisions exactes.
Correction détaillée
1. Détermination du nombre maximal de paniers :
Nous devons trouver le plus grand nombre entier qui divise à la fois 30 (poissons) et 500 (coquillages). Nous calculons donc le PGCD(500, 30).
En utilisant l'algorithme d'Euclide (division euclidienne successive) :
- 500 = 30 × 16 + 20
- 30 = 20 × 1 + 10
- 20 = 10 × 2 + 0
Le dernier reste non nul est 10. Ainsi, le PGCD de 500 et 30 est 10. Antoine pourra donc concevoir au maximum 10 paniers.
2. Composition de chaque panier :
Pour trouver la composition, il suffit de diviser les quantités totales par le nombre de paniers trouvés :
- Pour les poissons : 30 ÷ 10 = 3 poissons par panier.
- Pour les coquillages : 500 ÷ 10 = 50 coquillages par panier.
Chaque panier sera composé de 3 poissons et 50 coquillages.