Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien que posé initialement en fin de collège, mobilise des compétences fondamentales de géométrie plane et spatiale essentielles au programme de Première Spécialité. Il s'articule autour de deux problématiques concrètes : la gestion d'une surface agricole (calcul d'aire et optimisation) et le stockage de fluides (calcul de volume). La difficulté réside dans la lecture d'un plan complexe et la conversion rigoureuse des unités de mesure (m² vers hectare et cm³ vers litre).
Points de vigilance et notions requises
- Décomposition de figures : Pour calculer l'aire du pâturage, il est impératif de diviser le polygone en deux rectangles simples.
- Conversions d'unités : Savoir que 1 hectare = 10 000 m² et que 1 dm³ = 1 L est crucial. Une erreur d'unité à ce stade fausse l'intégralité du raisonnement.
- Volume du cylindre : La formule $V = \pi \times r^2 \times h$ doit être appliquée avec le rayon ($r$) et non le diamètre ($d$).
Guide de résolution détaillé
Partie 1 : Optimisation de l'élevage
Le plan du pâturage peut être décomposé en deux rectangles. En observant les codages (segments de même longueur), on identifie un rectangle supérieur de 620 m sur 240 m et un rectangle inférieur gauche de 240 m sur 240 m.
- Aire 1 = $620 \times 240 = 148\,800$ m².
- Aire 2 = $240 \times 240 = 57\,600$ m².
- Aire totale = $148\,800 + 57\,600 = 206\,400$ m².
En convertissant en hectares : $206\,400 / 10\,000 = 20,64$ ha. Avec un ratio de 12 chèvres par hectare, Laurent peut posséder $20,64 \times 12 = 247,68$, soit un maximum de 247 chèvres. Sa production quotidienne sera donc de $247 \times 1,8 = 444,6$ litres de lait.
Partie 2 : Stockage et Volume
Pour la cuve B, le rayon est de 50 cm (soit 5 dm) et la hauteur est de 76 cm (soit 7,6 dm). Travailler en décimètres permet d'obtenir directement un résultat en litres :
$V_B = \pi \times 5^2 \times 7,6 = 190\pi \approx 596,9$ L. En comparant avec la cuve A (585 L), Laurent doit choisir la cuve B.