Introduction au Sujet Centres Étrangers (Groupe 1) 2022

Le sujet du baccalauréat de spécialité mathématiques tombé le 18 mai 2022 pour les centres étrangers (dont Madagascar, le Liban ou l'Afrique du Sud) est un excellent support d'entraînement. Classé dans le Groupe 1, il offre un aperçu fidèle des attentes de l'épreuve métropolitaine. Le format est classique : le candidat doit choisir 3 exercices parmi les 4 proposés, chacun noté sur 7 points (ramené ici sur 20 via une pondération spécifique mentionnée dans le sujet original, mais le standard actuel est bien 3 exercices sur 7 points chacun).

Ce sujet couvre de manière équilibrée les quatre grands piliers du programme de Terminale : les Probabilités, l'Analyse de fonctions (avec logarithme et exponentielle), les Suites numériques et la Géométrie dans l'espace.

Analyse de l'Exercice 1 : Probabilités et Loi Binomiale

Thème : Probabilités conditionnelles, Arbres pondérés, Loi Binomiale.

Cet exercice est contextuel (une station de ski) et se découpe en deux parties indépendantes, une structure très courante au Bac.

• Partie A (Conditionnement) : L'élève doit construire un arbre pondéré. La difficulté principale réside souvent dans la traduction correcte de l'énoncé (ne pas confondre $P_J(C)$ et $P(J \cap C)$). On y demande ensuite d'utiliser la formule des probabilités totales puis la formule de Bayes pour inverser le conditionnement. C'est du grand classique.
• Partie B (Loi Binomiale) : On répète l'expérience (choix d'un skieur) de manière identique et indépendante. Il faut identifier les paramètres $n=30$ et $p=0,112$. Les questions portent sur le calcul de probabilités cumulées ($P(X \geqslant 1)$ et $P(X \leqslant 1)$) et l'espérance.

Conseil du prof : Pour $P(X \geqslant 1)$, pensez toujours à passer par l'événement contraire $1 - P(X=0)$ pour gagner du temps !

Analyse de l'Exercice 2 : QCM (Fonctions et Logarithme)

Thème : Suites géométriques, Propriétés du Logarithme, Étude de fonction, Convexité.

Ce Questionnaire à Choix Multiples (QCM) balaie plusieurs notions. Rappelons qu'au Bac, une mauvaise réponse n'enlève pas de points, il faut donc toujours répondre.

• Questions 1 & 2 : Elles testent la maîtrise des pourcentages (suite géométrique décroissante) et les propriétés algébriques du logarithme népérien ($\\ln(ab) = \\ln a + \\ln b$).
• Questions 3 à 6 : On passe à l'analyse pure. Il faut identifier des asymptotes, résoudre $h(x)=0$, trouver une équation de tangente et repérer un point d'inflexion. La difficulté est de bien jongler entre la fonction $f$, sa dérivée $f'$ et sa dérivée seconde $f''$.

Piège à éviter : Ne confondez pas le point où la dérivée s'annule (extremum potentiel) et le point où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe (point d'inflexion).

Analyse de l'Exercice 3 : Étude de Fonction Exponentielle et Suites

Thème : Fonction exponentielle, Théorème des valeurs intermédiaires, Suites récurrentes, Python.

C'est souvent l'exercice le plus "lourd" du sujet, demandant une rédaction rigoureuse.

• Partie A (Fonction) : On étudie $f(x) = 1+x - \text{e}^{0,5x - 2}$. Le calcul de limite en $+\infty$ nécessite une factorisation pour lever une forme indéterminée de type $\infty - \infty$. L'étude des variations mène à l'application du TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires) pour montrer l'unicité d'une solution.
• Partie B (Suite) : On étudie la suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$. C'est le schéma classique : démonstration par récurrence de l'encadrement de la suite, déduction de sa convergence (suite croissante et majorée), et calcul de la limite (point fixe $\ell = f(\ell)$).
• Algorithmique : Une petite lecture de script Python clôture l'exercice. Il s'agit d'une boucle while cherchant un seuil.

Analyse de l'Exercice 4 : Géométrie dans l'Espace

Thème : Vecteurs, Équations de plans, Droites paramétriques, Sphères.

Un exercice très complet pour les amateurs de géométrie vectorielle.

• Plans et Vecteurs normaux : Il faut savoir démontrer qu'un vecteur est normal à un plan pour en déduire son équation cartésienne ($ax+by+cz+d=0$).
• Intersections : Le sujet demande de montrer que deux plans sont sécants selon une droite $\Delta$, dont on doit fournir une représentation paramétrique. Ensuite, il faut trouver l'intersection de cette droite avec un troisième plan.
• Synthèse géométrique : La fin de l'exercice est élégante. Elle relie les plans médiateurs pour démontrer que 4 points appartiennent à une même sphère. Cela demande de comprendre la définition géométrique d'un plan médiateur (ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment).

Conclusion : Ce sujet de Madagascar 2022 est un "must-do" pour réviser. Il n'y a pas de questions excessivement tordues, mais il exige une maîtrise solide des fondamentaux calculatoires et logiques.