Analyse du Sujet de Bac Spécialité Maths - Asie 18 Mai 2022 (Jour 2)

Les sujets de la zone Asie sont souvent très attendus par les élèves de métropole car ils donnent le "la" de la session de juin. Ce sujet du 18 mai 2022 (Jour 2) est particulièrement équilibré et couvre l'ensemble du programme de manière classique mais exigeante. Il demande une excellente maîtrise du calcul algébrique et une bonne capacité d'abstraction.

Voici une analyse détaillée, exercice par exercice, pour vous aider à comprendre les attentes du correcteur et les pièges à éviter.

Exercice 1 : Géométrie dans l'espace (7 points)

Un grand classique du Bac. Cet exercice teste votre capacité à visualiser des objets en 3D à travers le calcul vectoriel.

• Les notions clés : Produit scalaire, orthogonalité, équations cartésiennes de plans, représentations paramétriques de droites, calcul de volume d'une pyramide.
• L'analyse : L'exercice commence doucement par des coordonnées de vecteurs pour démontrer la nature d'un quadrilatère (ici un rectangle). La difficulté monte d'un cran lorsqu'il faut justifier qu'un vecteur est normal à un plan pour en déduire son équation cartésienne.
• Le point de vigilance : La question 3 demande de manipuler une droite orthogonale à un plan passant par un point donné (le point K). Ne confondez pas vecteur directeur de la droite et vecteur normal du plan : ici, ce sont les mêmes ! Le calcul de la hauteur (distance du point au plan) est crucial pour trouver le volume final.

Exercice 2 : Étude de Fonction Logarithme (7 points)

C'est l'exercice d'analyse par excellence. Il mêle lecture graphique et étude analytique poussée.

• Les notions clés : Fonction logarithme népérien ($\ln$), composition de fonctions $ln(u)$, limites, dérivation, théorème des valeurs intermédiaires (TVI) et convexité.
• L'analyse : La fonction étudiée est de la forme $f(x) = \ln(x^2 - x - 6)$.
  • Piège n°1 : Le domaine de définition. Il faut s'assurer que $x^2 - x - 6 > 0$. L'énoncé vous guide, mais comprenez bien pourquoi on travaille sur $]3; +\infty[$.
  • Technique : La dérivée de $\ln(u)$ est $\frac{u'}{u}$. Attention aux erreurs de signes dans le calcul de la dérivée seconde pour la convexité.
• La philosophie : L'exercice vérifie si vous savez passer du graphique (Partie A) à la rigueur algébrique (Partie B). La justification de l'asymptote verticale nécessite une limite précise en 3.

Exercice 3 : Probabilités (7 points)

Cet exercice est divisé en deux parties indépendantes, ce qui permet de glaner des points même si l'une des parties pose problème.

• Partie 1 : Probabilités conditionnelles. Une situation classique de retard (bus/avion). Il faut construire un arbre pondéré et utiliser la formule des probabilités totales. La question 4 est une probabilité conditionnelle "inversée" ($P_V(B)$), souvent source d'erreur de formule.
• Partie 2 : Loi Binomiale et Variables Aléatoires. Le thème est concret : le "surbooking" aérien.
  • Il faut justifier l'usage de la loi binomiale (répétition, indépendance, succès/échec).
  • Le calcul de l'espérance mathématique (chiffre d'affaires) demande de bien poser la loi de probabilité de la variable $C$. C'est un exercice de modélisation financière : comparer le risque du surbooking face au gain potentiel.

Exercice 4 : Suites et Algorithmique (7 points)

Un exercice de modélisation biologique (bactéries) qui débouche sur l'étude d'une suite récurrente $p_{n+1} = f(p_n)$.

• Les notions clés : Récurrence, convergence (théorème de convergence monotone), résolution d'équation $f(x)=x$ (théorème du point fixe), et Python.
• L'analyse :
  • La récurrence demande de montrer $0 \leqslant p_n \leqslant p_{n+1} \leqslant 0,5$. C'est une récurrence "double" : il faut gérer la croissance et la majoration en même temps ou successivement.
  • La limite se trouve en résolvant $x = 0,3 + 0,7x^2$. Attention, cette équation du second degré a deux solutions, il faut choisir la bonne (celle compatible avec le premier terme et les variations).
• Python : Il faut compléter une fonction simple. La difficulté réside dans la gestion de la liste et de la boucle : combien de fois on itère pour avoir $n$ termes ?

Conseil global pour ce sujet

Ce sujet d'Asie 2022 est un excellent entraînement car il ne contient pas de "questions exotiques" mais demande une rigueur absolue. Les calculs (dérivée seconde, variance, vecteurs normaux) sont longs et propices aux erreurs d'étourderie. Prenez le temps de vérifier vos résultats intermédiaires.