Introduction : Un sujet de remplacement riche et équilibré

Le sujet du baccalauréat de spécialité mathématiques donné en Amérique du Sud le 26 septembre 2022 (session de remplacement) est un excellent support d'entraînement pour les futurs bacheliers. Il couvre les quatre piliers majeurs du programme de Terminale : les Probabilités, les Suites numériques, l'Analyse de fonctions (Logarithme) et la Géométrie dans l'espace.

Ce sujet se distingue par son classicisme apparent, mais il recèle quelques subtilités techniques, notamment dans l'utilisation des logarithmes au sein des suites et l'application de la convexité géométrique. Voici une analyse détaillée, exercice par exercice, pour comprendre la philosophie de l'épreuve et maximiser vos points.

Exercice 1 : Probabilités et Loi Binomiale (Le classique incontournable)

Cet exercice est structuré en trois parties très classiques (Probabilités conditionnelles, Loi Binomiale, Recherche de seuil). C'est souvent l'exercice « refuge » pour les élèves, à condition de maîtriser la rédaction.

Les notions clés

• Arbres pondérés et probabilités totales : La Partie A demande de jongler avec les événements contraires et d'utiliser la formule des probabilités totales pour retrouver une probabilité conditionnelle manquante.
• Loi Binomiale : La Partie B modélise une répétition d'expériences (prélèvement de systèmes d'alarme). Il faut justifier les conditions (indépendance, répétition, succès/échec) pour définir la variable aléatoire $X$.
• Inéquation avec logarithmes : La Partie C demande de trouver un seuil $n$ tel que $P(X \ge 1) > 0,07$. Cela passe par l'événement contraire « aucun défaut ».

Les pièges à éviter

Dans la question A.4, la définition de « l'alarme ne fonctionne pas normalement » est une union de deux cas d'erreurs (Faux positif et Faux négatif). Il faut être très rigoureux dans la traduction en langage ensembliste. De plus, ne confondez pas $P_A(B)$ et $P(A \cap B)$.

Exercice 2 : Suites, Python et Logarithmes (L'exercice technique)

Un très bel exercice qui mêle algorithmique et étude analytique. La particularité ici est le passage par le logarithme pour linéariser une relation de récurrence quadratique.

Analyse de la progression

• Python : La fonction suite_u est une simple boucle for. C'est une compétence de base : savoir calculer un terme de rang $p$ par itération.
• Récurrence et Convergence : On démontre que la suite est bornée et décroissante. Le théorème de convergence monotone assure l'existence de la limite. Attention à la résolution de l'équation limite $\ell = \frac{1}{5}\ell^2$ : il y a deux solutions, il faut écarter la mauvaise (0) grâce à l'encadrement initial ou justifier la convergence vers l'autre.
• Suite auxiliaire logarithmique : C'est le cœur de l'exercice (Q4). En posant $v_n = \ln(u_n)$, on transforme une relation multiplicative ($u_{n+1} = k u_n^2$) en une relation affine ($v_{n+1} = 2v_n + C$). C'est une technique puissante à retenir.

Compétences évaluées

La maîtrise des propriétés de la fonction $\ln$ ($ln(a^b) = b \ln(a)$) est indispensable pour réussir la transition entre les suites $(u_n)$ et $(w_n)$.

Exercice 3 : Étude de fonction Logarithme et Convexité (L'analyse fine)

Cet exercice d'analyse est dense. Il demande une bonne maîtrise du calcul de dérivées et une compréhension graphique de la convexité.

Points stratégiques

• Dérivation : La fonction $g(x) = 1+ x^2[1 - 2 \ln (x)]$ nécessite l'utilisation de la règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$. L'erreur de signe est fréquente ici.
• Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Pour montrer l'unicité de la solution $\alpha$, il faut dresser un tableau de variations complet et rigoureux.
• Convexité et position relative : La Partie B est originale. Elle ne demande pas seulement le signe de la dérivée seconde (donné), mais d'utiliser la convexité pour justifier une inégalité. Il faut se rappeler qu'une courbe convexe est située en dessous de ses cordes (sécantes) et au-dessus de ses tangentes. Ici, on utilise la droite (AB) comme sécante.

Exercice 4 : Géométrie dans l'espace (Visualisation et calcul vectoriel)

Un exercice complet dans un repère orthonormé imposé par un parallélépipède.

La démarche de résolution

• Calcul vectoriel pur : Les premières questions sont du calcul de coordonnées et de produit scalaire. Le paramètre $k$ introduit une variable, transformant le produit scalaire en un polynôme du second degré en $k$.
• Volumes et Distances : La fin de l'exercice utilise la méthode des volumes pour calculer une distance point-plan (la distance DP). C'est une méthode classique : on calcule le volume du tétraèdre de deux manières (Base $\times$ Hauteur connue vs Base $\times$ Hauteur cherchée).

Conseil pour le jour J

Sur ce type d'exercice, faites un schéma au brouillon pour bien visualiser quel point se projette sur quel plan. La confusion entre la hauteur du tétraèdre et les arêtes du cube est une erreur classique.

Conclusion

Ce sujet d'Amérique du Sud 2022 est un « must-do ». Il n'est pas excessivement difficile, mais il punit sévèrement le manque de rigueur, notamment dans l'exercice sur les suites et la convexité. Pour viser le 20/20, soignez particulièrement la rédaction des probabilités totales et les justifications d'inégalités.