Analyse du Sujet Bac Maths Spécialité - Asie 23 Mars 2023

Le sujet du baccalauréat de mathématiques de la zone Asie, tombé le 23 mars 2023, est un excellent support d'entraînement pour tous les élèves de Terminale Générale. Comme souvent, les sujets des centres étrangers donnent le la pour la session métropolitaine. Ce sujet J1 (Jour 1) couvre les piliers du programme : suites numériques, géométrie dans l'espace, analyse de fonctions avec logarithme et probabilités.

Voici une analyse détaillée et pédagogique pour comprendre les enjeux de chaque exercice, éviter les pièges et maîtriser les compétences attendues.

Exercice 1 : Les Suites Numériques et Modélisation (5 points)

Cet exercice est un grand classique du Bac. Il s'agit d'une suite arithmético-géométrique ($u_{n+1} = a u_n + b$) qui modélise ici l'évolution d'un verger (arbres vendus et replantés).

Les compétences clés :

• Calcul de termes et conjecture : On commence doucement en calculant $u_1$ et $u_2$. Attention aux erreurs de calcul bêtes, utilisez la calculatrice !
• Raisonnement par récurrence : La question 2 demande de démontrer un encadrement ($0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 600$). C'est une récurrence double (hérédité sur l'inégalité). La difficulté réside dans la rigueur de la rédaction. Il faut bien montrer que la fonction associée $f(x) = 0,9x + 60$ est croissante sur l'intervalle étudié pour conserver l'ordre.
• Théorème de convergence monotone : Puisque la suite est croissante et majorée (par 600), elle converge. C'est un point de cours incontournable.
• Calcul de la limite : On résout l'équation du point fixe $l = 0,9l + 60$.
• Algorithmique (Python) : Le script est une recherche de seuil. Il faut savoir simuler une boucle while à la main ou comprendre qu'on cherche le premier rang $n$ où $u_n$ dépasse 500.

Le piège à éviter :

Dans la Partie B (interprétation), ne vous contentez pas de dire "ça dépasse". Reliez la limite mathématique (600) à la contrainte physique du verger (500 places). Si la limite théorique est 600, le verger sera fatalement saturé à long terme.

Exercice 2 : Géométrie dans l'Espace (5 points)

Un exercice très visuel basé sur un cube. L'avantage ici est que le repère est orthonormé, ce qui simplifie les calculs de produits scalaires et de distances.

Les compétences clés :

• Coordonnées et vecteurs : Le sujet impose des coordonnées fractionnaires (ex: $P(1; 0; -5/4)$). Ne paniquez pas avec les fractions, gardez les valeurs exactes.
• Produit scalaire et orthogonalité : Pour montrer que le triangle MNP est rectangle, le produit scalaire $\vect{MN} \cdot \vect{MP}$ doit être nul.
• Équation cartésienne de plan : On vous donne un vecteur normal $\vect{n}(5; -8; 4)$. Il suffit de vérifier que $\vect{n} \cdot \vect{MN} = 0$ et $\vect{n} \cdot \vect{MP} = 0$. C'est une méthode de vérification plus rapide que la recherche du vecteur normal ex nihilo.
• Représentation paramétrique de droite : La droite passant par F et orthogonale au plan (MNP) a pour vecteur directeur le vecteur normal $\vect{n}$. C'est une application directe du cours.
• Projeté orthogonal et Volume : La fin de l'exercice est plus technique. Trouver les coordonnées du projeté L demande de résoudre l'intersection entre la droite et le plan. Enfin, le volume du tétraèdre utilise la formule $\frac{1}{3} \times Base \times Hauteur$.

Le conseil du prof :

Faites un schéma au brouillon pour visualiser la hauteur FL par rapport à la base MNP. Vérifiez la cohérence de vos résultats : une distance ou une aire ne peut pas être négative !

Exercice 3 : Fonctions et Logarithme Népérien (5 points)

C'est sans doute l'exercice le plus discriminant du sujet. Il mêle étude de fonction classique et une famille de fonctions avec un paramètre $k$.

Analyse par étapes :

• Conjectures graphiques : On vous demande d'observer le nombre d'intersections entre la courbe $\ln(x)$ et la droite $kx$. C'est une lecture graphique pour intuiter les résultats suivants.
• Cas particulier $k=1$ : On étudie $f(x) = \ln(x) - x$. L'étude des variations (via la dérivée) montre que le maximum est strictement négatif. Conclusion : pas de solution pour $\ln(x) = x$.
• Cas général (famille de fonctions) : On généralise avec $g(x) = \ln(x) - kx$. Le tableau de variations est donné (cadeau !), mais il faut l'interpréter. Le maximum est atteint en $x = 1/k$.
• Le cœur du problème : Tout repose sur le signe de ce maximum $g(1/k)$.
  • Si le max est positif, l'équation $g(x)=0$ a deux solutions (car la fonction monte puis descend en traversant 0 deux fois).
  • Si le max est nul, une solution unique.
  • Si le max est négatif, aucune solution.

La difficulté :

Manipuler l'inéquation $\ln(k) < -1$ pour trouver les valeurs de $k$. Il faut être à l'aise avec les propriétés algébriques du logarithme et de l'exponentielle.

Exercice 4 : Probabilités (QCM - 5 points)

Un QCM est toujours à double tranchant : rapide si on maîtrise, dangereux si on devine (même si ici, pas de points négatifs). Le contexte est une urne avec des boules colorées et numérotées.

Points d'attention :

• Dénombrement : Avant de commencer, faites un tableau ou une liste des 15 boules :
  R : {1}
  B : {2, 3, 4, 5}
  V : {6, ..., 15}
  Cela évite les erreurs sur les événements "pair" ou "impair".
• Probabilités conditionnelles : La formule $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ est indispensable pour la question 1.
• Variable aléatoire (Gain algébrique) : Attention, le "gain algébrique" soustrait la mise. Si je gagne 15€ mais que j'ai misé 10€, le gain algébrique $G$ est 5€. C'est le piège classique de la question 3.
• Probabilités inversées : La dernière question demande $P_{(G=-4)}(V)$. C'est une probabilité conditionnelle "sachant que le gain est -4". Il faut identifier quelles boules donnent une perte de 4 euros (donc un gain brut de 6 euros) et regarder parmi elles lesquelles sont vertes.

En résumé, ce sujet Asie 2023 est équilibré mais demande une grande rigueur, notamment sur l'exercice de fonctions avec paramètre et la géométrie analytique. Une excellente préparation pour le jour J !