Analyse du Sujet Bac Spé Maths 2024 - Amérique du Nord (Jour 2)

Le sujet du baccalauréat de spécialité Mathématiques tombé en Amérique du Nord le 22 mai 2024 (Session 2) est un excellent support d'entraînement pour les révisions finales. Il couvre les quatre piliers majeurs du programme de Terminale de façon équilibrée. Voici une analyse détaillée pour vous aider à comprendre les attentes du correcteur.

Exercice 1 : Probabilités et Loi Binomiale (5 points)

Cet exercice est divisé en trois parties classiques, ancrées dans un contexte concret (véhicules hybrides).

• Partie A (Probabilités conditionnelles) : On commence par un arbre pondéré classique. Les compétences testées sont la lecture d'énoncé (traduire les pourcentages en probabilités), la formule des probabilités totales et la formule de Bayes (inverser le conditionnement $P_R(N)$).
• Partie B (Loi Binomiale) : On répète une épreuve (choix de 500 véhicules) de manière indépendante. Il faut identifier les paramètres $n=500$ et $p=0.65$. Les questions demandent l'usage de la calculatrice pour $P(X=k)$ et $P(X \ge k)$. Attention à l'interprétation du résultat dans le contexte.
• Partie C (Seuil) : C'est la question discriminante. On cherche $n$ tel que la probabilité d'avoir au moins un véhicule neuf dépasse un seuil ($0,9999$). Cela revient à résoudre une inéquation du type $1 - (1-p)^n \ge \text{seuil}$, nécessitant l'utilisation du logarithme népérien ($\ln$).

Exercice 2 : Géométrie dans l'espace (5 points)

Un exercice très complet dans un pavé droit, avec un repère imposé. La particularité ici est que le repère n'est pas le repère canonique du cube unité, mais adapté aux dimensions du pavé ($AB=3$).

• Coordonnées et Vecteurs : Il faut déterminer les coordonnées de points, notamment le milieu $M$, ce qui demande de la rigueur arithmétique.
• Équation de plan : On vous guide en donnant un vecteur normal $\vec{n}$. Il faut vérifier qu'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(HMF)$, puis en déduire l'équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$.
• Intersection Droite/Plan : On demande une représentation paramétrique d'une droite $(DG)$ pour trouver son point d'intersection $N$ avec le plan. C'est une méthode systématique à maîtriser absolument.
• Projection orthogonale : La dernière question demande de vérifier si un point $R$ est le projeté orthogonal. Cela revient à vérifier si le vecteur $\vec{RG}$ est colinéaire au vecteur normal du plan et si $R$ appartient au plan.

Exercice 3 : Suites, Fonctions et Python (6 points)

C'est le "gros" morceau du sujet, mêlant étude de fonction et suites récurrentes.

• Étude de fonction : On étudie $g(x) = 2x - x^2$ sur $[0;1]$. C'est une parabole inversée (carte logistique).
• Récurrence et Convergence : On doit prouver par récurrence que $0 < u_n < u_{n+1} < 1$. La suite est croissante et majorée, donc elle converge. Le calcul de la limite $\ell$ se fait en résolvant $g(\ell) = \ell$.
• Suite auxiliaire et Logarithme : L'originalité du sujet réside ici. On introduit $v_n = \ln(1 - u_n)$. Il faut prouver que $(v_n)$ est géométrique. Cela demande une bonne maîtrise des propriétés algébriques du logarithme ($\ln(ab) = \ln a + \ln b$).
• Script Python : Un classique algorithme de seuil. Il faut compléter la boucle while pour trouver quand la suite dépasse $0,95$.

Exercice 4 : Fonctions, Intégrales et Paramètre (4 points)

Un exercice d'analyse un peu plus abstrait car il contient un paramètre réel $a > 0$.

• Primitive et Aire : On travaille avec la fonction $f(x) = a \ln(x)$. Il faut vérifier une primitive $F(x)$ donnée (en dérivant $x \ln x - x$) et calculer une aire sous la courbe par intégration entre $1$ et $x_0$.
• Problème de la Tangente : La dernière partie est purement géométrique. On trace la tangente en un point $M$. Il faut montrer que la distance entre l'ordonnée à l'origine de la tangente et la projection de M est constante.
• Astuce : Il faut écrire l'équation de la tangente $y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)$, trouver l'ordonnée du point A ($x=0$) et calculer la distance $AB$. Le résultat ne doit plus dépendre de $x_0$. C'est une propriété connue de la sous-tangente pour les fonctions logarithmiques.

Conclusion

Ce sujet Amérique du Nord 2024 est équilibré. Il ne présente pas de piège majeur mais demande une grande rigueur dans les calculs (surtout en géométrie et sur les suites avec logarithmes). C'est un sujet "type" parfait pour valider ses acquis.