Analyse du Sujet de Bac Spécialité Maths 2024 - Polynésie (Jour 1)

Le sujet de mathématiques de la session 2024 en Polynésie offre un panorama complet et équilibré du programme de Terminale. Comme souvent pour les épreuves des centres étrangers, ce sujet sert de baromètre pour les épreuves de Métropole. Il demande une maîtrise technique rigoureuse, notamment sur le calcul intégral et les probabilités conditionnelles, tout en laissant une place à la réflexion algorithmique et à la modélisation.

Exercice 1 : Géométrie dans l'Espace (4 points)

Cet exercice se présente sous la forme d'un Vrai/Faux avec justification obligatoire. C'est un format classique qui pénalise le hasard. L'élève doit démontrer une connaissance solide des objets fondamentaux de l'espace.

• Les notions clés : Vecteurs normaux, représentations paramétriques de droites, équations cartésiennes de plans, et la notion moins fréquente de plan médiateur.
• Les pièges :
  • Pour l'affirmation 1, il ne suffit pas de vérifier si le vecteur est orthogonal à deux vecteurs directeurs, il faut s'assurer que les vecteurs choisis ne sont pas colinéaires.
  • L'affirmation 2 (intersection droite/droite) nécessite de résoudre un système ou de vérifier si le point C appartient aux deux objets.
  • Pour le plan médiateur (Affirmation 4), il faut se rappeler de la définition géométrique : l'ensemble des points $M$ tels que $MB = MC$, ou utiliser le vecteur $\vect{BC}$ comme vecteur normal passant par le milieu du segment.

Exercice 2 : Équations Différentielles et Fonctions (5 points)

Un bel exercice de modélisation (loi de refroidissement de Newton) qui mélange résolution d'équations différentielles et analyse de fonctions.

• Les notions clés : Équations différentielles linéaires du premier ordre ($y' + ay = b$), calcul de limites, résolution d'inéquations avec exponentielles, et calcul de la valeur moyenne via une intégrale.
• La philosophie : L'exercice guide l'élève de la résolution théorique (Partie A) à l'application concrète (Partie B). La question sur le logiciel de calcul formel demande simplement de vérifier la cohérence des résultats.
• Le point critique : La question B.2 demande de calculer la "valeur moyenne". C'est une application directe de la formule $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dt$. L'erreur classique est d'oublier le facteur $\frac{1}{b-a}$ ou de se tromper dans la primitive de $e^{kx}$ (ne pas oublier de diviser par $k$).

Exercice 3 : Probabilités (5 points)

L'exercice est divisé en deux parties très distinctes : une application directe de la loi binomiale, suivie d'un problème plus complexe de probabilités conditionnelles modélisant un jeu.

• Les notions clés : Variable aléatoire, Loi Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, Arbres pondérés, Formule des probabilités totales, Formule de Bayes (probabilité inverse), et inéquation logarithmique ($P(X \ge 1) > 0,95$).
• Analyse de la difficulté :
  • La Partie B introduit un jeu en deux temps. La construction de l'arbre est l'étape cruciale. Il faut bien comprendre que le deuxième lancer ne concerne que les pièces tombées sur "Pile".
  • La question 4 (probabilité qu'une pièce soit tombée sur Face sachant que la partie est gagnée) est une probabilité conditionnelle "inversée" par rapport à l'arbre. C'est souvent source de confusion pour les candidats.
  • La dernière question demande de résoudre $1 - (1-p)^n > 0,95$, nécessitant l'usage du logarithme népérien.

Exercice 4 : Suites Numériques et Algorithmique (6 points)

Un classique absolu : l'étude d'une suite définie par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. L'exercice intègre une composante Python pour conjecturer le comportement de la suite.

• Les notions clés : Lecture d'algorithme Python, démonstration par récurrence (pour l'encadrement), étude des variations de la fonction associée, théorème de convergence monotone, et résolution de l'équation point fixe $f(x) = x$.
• Les pièges :
  • Dans la récurrence, l'étape de l'hérédité nécessite d'utiliser la croissance de la fonction $f$ sur l'intervalle donné. Une justification rigoureuse est attendue.
  • La question B.3.a demande de prouver une équivalence algébrique. Il faut être propre dans le calcul fractionnaire.
  • La dernière question ("si on choisit $u_0 = 4$") teste la compréhension profonde des limites. La limite dépend-elle du terme initial ou seulement de la fonction ? Ici, la stabilité de l'intervalle est la clé.

Bilan et Conseils

Ce sujet de Polynésie 2024 est un excellent entraînement car il est dense mais sans surprise majeure. Il valorise les élèves qui maîtrisent leurs définitions (géométrie), leurs primitives (intégrales) et la rédaction des récurrences. Pour réussir ce type d'épreuve, la rigueur dans la justification (notamment dans le Vrai/Faux) est aussi importante que le résultat numérique.