Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2021 (Amérique du Nord, session de mai) est un classique questionnaire de type Vrai ou Faux avec justification. Il balaie plusieurs concepts fondamentaux de l'analyse en Terminale, centrés principalement sur la fonction exponentielle et la convexité. Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs savoir-faire techniques.

1. Maîtrise du calcul algébrique sur l'exponentielle

La première affirmation teste la connaissance des propriétés algébriques élémentaires. L'élève doit être capable de distinguer les règles de calcul $\left(e^a\right)^n$ et $e^{a+b}$ pour vérifier l'égalité proposée. Une erreur fréquente est la confusion entre l'élévation au carré d'une somme et la somme des carrés (identité remarquable).

2. Dérivation et équation de tangente

L'affirmation 2 demande de déterminer l'équation réduite d'une tangente. La méthode clé consiste à :

• Calculer la dérivée $f'(x)$ en utilisant la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$.
• Appliquer la formule de la tangente au point d'abscisse $a=0$ : $y = f'(0)(x-0) + f(0)$.
• Comparer le résultat obtenu avec l'équation proposée $y = 2x + 1$.

3. Calcul de limites

Pour la troisième question, il s'agit de lever une forme indéterminée en $+\infty$. La technique attendue est généralement la factorisation par le terme dominant (ici $e^{2x}$ ou $e^x$) pour mettre en évidence les limites usuelles et conclure sur le comportement asymptotique de l'expression.

4. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

L'affirmation 4 porte sur l'existence et l'unicité d'une solution à une équation du type $h(x)=0$. C'est une application directe du corollaire du Théorème des Valeurs Intermédiaires. Il est nécessaire d'étudier les variations de la fonction (via le signe de sa dérivée) pour prouver qu'elle est strictement monotone sur l'intervalle $[0; 2]$ et de vérifier les images aux bornes.

5. Étude de la convexité

Enfin, la dernière affirmation requiert l'étude de la convexité d'une fonction polynôme mêlée à une exponentielle. La méthode infaillible consiste à calculer la dérivée seconde $g''(x)$. Si $g''(x) \geqslant 0$ sur $\mathbb{R}$, alors la fonction est convexe. Une bonne maîtrise des dérivées successives est ici indispensable.