Analyse du sujet : Fonction exponentielle et Convexité

Cet exercice de mathématiques du Baccalauréat 2021 (Métropole) propose une étude classique et complète d'une fonction exponentielle. Il est divisé en deux parties complémentaires : une approche graphique intuitive suivie d'une démonstration analytique rigoureuse.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, les élèves doivent maîtriser plusieurs compétences fondamentales du programme de Terminale, notamment l'analyse, la dérivation et la convexité.

1. Lecture graphique et conjectures

La première partie demande de faire le lien entre la courbe de la fonction dérivée $f'$ et les propriétés de la fonction $f$. Les points clés à retenir sont :

• Sens de variation de $f$ : Il dépend du signe de $f'(x)$ (et non de ses variations). Si la courbe de $f'$ est au-dessus de l'axe des abscisses, $f$ est croissante.
• Convexité de $f$ : Elle dépend du sens de variation de $f'$. Si $f'$ est décroissante, alors $f$ est concave. Si $f'$ est croissante, $f$ est convexe.

2. Calculs de limites et asymptotes

Dans la seconde partie, l'expression $f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}$ est donnée. Pour la limite en $+\infty$, une forme indéterminée de type $\infty \times 0$ apparaît. La clé est de transformer l'écriture pour faire apparaître les croissances comparées classiques (du type $\frac{x}{\text{e}^x}$). Cela permet de conclure sur l'existence d'une asymptote horizontale.

3. Dérivation et variations

Le calcul de la dérivée nécessite l'utilisation de la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$. Une erreur fréquente est d'oublier de dériver le terme $\text{e}^{-x}$ en $-\text{e}^{-x}$. Après factorisation, l'étude du signe se ramène à l'étude d'une fonction affine simple, car l'exponentielle est toujours strictement positive.

4. Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

L'exercice demande de résoudre $f(x)=2$ sur un intervalle précis. Il faut impérativement vérifier trois conditions pour appliquer le corollaire du TVI :

• La continuité de la fonction (car dérivable),
• La stricte monotonie sur l'intervalle,
• L'appartenance de la valeur cible (2) à l'image de l'intervalle.

L'utilisation de la calculatrice est nécessaire pour donner l'arrondi demandé.

5. Convexité et point d'inflexion

L'étude de la convexité passe par le calcul de la dérivée seconde $f''(x)$. Le changement de signe de $f''(x)$ indique un changement de concavité, caractérisant ainsi un point d'inflexion pour la courbe $\mathcal{C}$.