Compétences et clés de réussite

Cet exercice de géométrie dans l'espace, tiré de l'épreuve du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2021 pour la zone Amérique du Nord, mobilise l'ensemble des connaissances fondamentales du chapitre. Pour réussir, il est essentiel de maîtriser le passage d'une vision géométrique pure à une approche analytique utilisant les coordonnées.

1. Repérage dans l'espace et coordonnées

La première difficulté réside souvent dans la lecture des coordonnées dans un repère lié à un solide (ici un cube). Les candidats doivent savoir identifier l'origine et les vecteurs de base pour déterminer sans erreur les coordonnées de points définis comme milieux de segments (formule de la moyenne des coordonnées). Une bonne vision spatiale aide à vérifier la cohérence des résultats calculés.

2. Vecteurs et coplanarité

L'exercice demande de démontrer la coplanarité de vecteurs. C'est un classique qui peut se traiter de deux manières principales :

• En cherchant une relation de combinaison linéaire entre les vecteurs (ex: $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$).
• En résolvant un système d'équations linéaires paramétré.

La rigueur dans la résolution du système est cruciale pour éviter les erreurs de calcul.

3. Droites et plans : positions relatives

Une partie significative de l'exercice porte sur l'étude de droites définies par des représentations paramétriques et de plans définis par une équation cartésienne. Les points clés à maîtriser sont :

• Identifier un vecteur directeur d'une droite à partir de ses coefficients paramétriques.
• Identifier un vecteur normal à un plan à partir des coefficients de son équation cartésienne.
• Utiliser le produit scalaire pour tester l'orthogonalité (ex: vecteur directeur de la droite orthogonal au vecteur normal du plan implique que la droite est parallèle au plan).

4. Projection orthogonale

La dernière question aborde la notion de projeté orthogonal d'un point sur un plan. Pour prouver qu'un point $L$ est le projeté orthogonal d'un point $M$ sur un plan $\mathcal{P}$, deux conditions doivent être vérifiées et explicitées :

1. Le point $L$ doit appartenir au plan $\mathcal{P}$ (ses coordonnées vérifient l'équation du plan).
2. Le vecteur $\vec{ML}$ doit être colinéaire au vecteur normal du plan (ce qui traduit l'orthogonalité de la distance).

Cet exercice est un excellent entraînement de synthèse, car il enchaîne logiquement les concepts de base (coordonnées) vers des concepts plus avancés (projections et intersections).