Compétences et clés de réussite

Cet exercice de Spécialité Mathématiques du Bac 2021 (Métropole, Sujet 1) propose une situation concrète de modélisation : l'évolution de la température de gâteaux sortis du congélateur. Il mobilise l'ensemble des connaissances classiques sur les suites numériques et leur application pratique.

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser les points suivants :

• Modélisation et sens critique : Savoir critiquer un modèle linéaire (progression arithmétique) par rapport à la réalité physique d'un phénomène thermique qui tend vers une température ambiante.
• Raisonnement par récurrence : Démontrer une propriété pour tout entier naturel $n$, ici une majoration de la suite ($T_n \leqslant 25$), étape fondamentale pour prouver la convergence.
• Étude de suites : Analyser le sens de variation d'une suite et utiliser le théorème de convergence monotone (suite croissante et majorée).
• Suite auxiliaire géométrique : C'est la méthode standard pour résoudre les suites arithmético-géométriques. Il faut savoir passer de la suite $(T_n)$ à une suite $(U_n)$ géométrique, déterminer sa raison et son premier terme, pour ensuite exprimer $T_n$ en fonction de $n$.
• Calcul de limites : Déterminer la limite d'une suite géométrique dont la raison est comprise entre -1 et 1, et interpréter ce résultat dans le contexte (température d'équilibre).
• Résolution d'inéquations : Utiliser les logarithmes ou les puissances pour déterminer un seuil $n$ à partir duquel une condition est remplie.
• Algorithmique (Python) : Compléter un script de recherche de seuil (boucle while) pour modéliser le problème informatique associé à l'inéquation mathématique.

Ce sujet est un excellent entraînement car il relie les aspects théoriques (démonstrations, limites) aux aspects pratiques (interprétation physique, programmation).