Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2021 pour la zone Amérique du Nord (Exercice 5) est un classique de l'épreuve de spécialité mathématiques. Il mobilise des compétences fondamentales en analyse, centrées sur l'étude des fonctions logarithmes et la notion de convexité. Pour réussir ce type de sujet, l'élève doit maîtriser l'articulation entre l'observation graphique et la démonstration algébrique.

Lecture graphique et lien dérivé

La première partie de l'exercice teste la capacité du candidat à extraire des informations d'une courbe représentative. Il est crucial de savoir interpréter les coordonnées d'un point pour trouver une valeur de la fonction (image), mais surtout de comprendre le lien géométrique entre le nombre dérivé et la tangente. Ici, la présence d'une tangente horizontale est un signal immédiat concernant la valeur de la dérivée au point d'abscisse considéré. C'est une compétence socle : savoir traduire "tangente horizontale" par "nombre dérivé nul".

Identification de paramètres

Une fois les données graphiques acquises, l'exercice demande de les réinvestir pour déterminer l'expression analytique de la fonction. Cela implique de poser un système d'équations en utilisant la forme générale donnée et sa dérivée formelle. La réussite repose ici sur une dérivation sans faute d'une fonction quotient du type $u/v$ impliquant le logarithme népérien, et la résolution rigoureuse du système pour trouver les inconnues $a$ et $b$.

Étude de fonction et Limites

La suite de l'exercice suit le schéma canonique de l'étude de fonction. Le candidat doit être à l'aise avec les limites usuelles et les croissances comparées, notamment en $+\infty$ pour lever les formes indéterminées liées à $\frac{\ln(x)}{x}$. L'établissement du tableau de variations nécessite une étude de signe précise de la dérivée. Il est fréquent que le signe dépende d'une expression affine du type $A + B\ln(x)$, demandant de résoudre une inéquation logarithmique simple.

Convexité et Point d'inflexion

La dernière partie aborde la convexité, un thème majeur des nouveaux programmes. L'élève doit démontrer sa capacité à calculer la dérivée seconde $f''$ à partir de $f'$. L'étude du signe de cette dérivée seconde est l'étape clé : elle permet de conclure sur la convexité de la fonction (convexe si $f'' > 0$, concave si $f'' < 0$) et de prouver l'existence d'un point d'inflexion. Rappelons que pour qu'il y ait un point d'inflexion, la dérivée seconde doit s'annuler en changeant de signe. Une rédaction soignée justifiant ce changement de signe est indispensable pour obtenir la totalité des points.