Analyse du Sujet de Bac 2021 - Centres Étrangers (Sujet 2) - Exercice 2

Cet exercice de mathématiques, extrait des épreuves du Baccalauréat 2021 pour les Centres Étrangers (Sujet 2), aborde des thématiques centrales du programme de probabilités. Il s'agit d'un problème concret modélisant l'usage des transports en commun en fonction de l'âge de la population. L'exercice se divise en deux parties distinctes : l'une consacrée aux probabilités conditionnelles et l'autre à la loi binomiale.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, les candidats doivent maîtriser plusieurs savoir-faire essentiels :

• Modélisation par un arbre pondéré : La première étape consiste à traduire les données textuelles (pourcentages) en probabilités mathématiques ($P(A)$, $P_A(B)$). La construction correcte de l'arbre est cruciale car elle sert de support visuel pour les calculs suivants, notamment l'identification des branches correspondantes aux intersections d'événements.
• Manipulation des probabilités conditionnelles : Il est indispensable de connaître la formule de la probabilité de l'intersection $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ et celle de la probabilité conditionnelle inverse. Une subtilité de cet exercice réside dans l'utilisation de la loi des probabilités totales ou la déduction de probabilités complémentaires pour trouver des valeurs non données explicitement dans l'énoncé.
• Justification d'une loi binomiale : Dans la seconde partie, l'élève doit identifier les caractéristiques d'un schéma de Bernoulli répété (tirage avec remise, deux issues possibles : succès ou échec, indépendance des tirages). Il faut savoir énoncer les paramètres $n$ (nombre de répétitions) et $p$ (probabilité du succès).
• Calculs sur la variable aléatoire : L'utilisation de la calculatrice est nécessaire pour déterminer des probabilités ponctuelles $P(X=k)$ ou cumulées $P(X < k)$. Attention à la lecture de la question : "moins de 13" signifie strictement inférieur à 13 ($X \le 12$).
• Interprétation de l'espérance : Enfin, le calcul de l'espérance mathématique $E(X) = n \times p$ doit être suivi d'une interprétation concrète en lien avec le contexte de l'exercice (nombre moyen de personnes).

Cet exercice constitue un excellent entraînement pour vérifier la solidité des acquis sur les lois de probabilités discrètes et la capacité à modéliser une situation réelle.