Compétences et clés de réussite

Cet exercice 1 du sujet de Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Métropole, session de septembre 2021) se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format requiert une maîtrise précise des notions fondamentales d'analyse et de l'étude des suites, ainsi qu'une capacité à raisonner rapidement sans nécessairement rédiger de longues justifications. Voici les compétences clés mobilisées pour réussir cet exercice.

1. Lecture graphique et nombre dérivé

La première question repose sur l'interprétation géométrique de la dérivée. Le candidat doit être capable de faire le lien entre le coefficient directeur de la tangente à une courbe en un point et la valeur de la fonction dérivée en ce point (nombre dérivé). Ici, l'analyse de la tangente passant par deux points donnés permet de déterminer la pente et donc la valeur de $f'(0)$. Il faut également savoir lire les variations de la fonction pour déduire le signe de la dérivée sur un intervalle donné.

2. Identification de paramètres d'une fonction exponentielle

Dans la deuxième partie, l'objectif est de retrouver les coefficients $a$ et $b$ d'une fonction de la forme $f(x) = (ax + b)\text{e}^x$. La méthode consiste à utiliser les données de l'énoncé, notamment les coordonnées des points par lesquels passe la courbe (comme l'intersection avec l'axe des abscisses). Cela se traduit par la résolution d'un système d'équations simples ou par vérification directe des propositions en remplaçant $x$ et $f(x)$ par les valeurs connues.

3. Convexité et point d'inflexion

L'étude de la convexité est centrale dans l'analyse de fonctions en Terminale. Le candidat doit savoir exploiter l'expression de la dérivée seconde $f''(x)$. La clé de réussite réside dans l'étude du signe de $f''(x)$ :

• Si $f''(x) > 0$, la fonction est convexe.
• Si $f''(x) < 0$, la fonction est concave.
• Si $f''(x)$ s'annule en changeant de signe, la courbe admet un point d'inflexion.

Ici, l'expression $(10x + 25)\text{e}^x$ nécessite de déterminer le signe du facteur affine $(10x + 25)$, l'exponentielle étant toujours strictement positive.

4. Comportement asymptotique des suites

La dernière question aborde la comparaison de suites. Il est essentiel de comprendre les théorèmes de comparaison et de convergence. Le fait qu'une suite soit majorée par une suite convergente n'implique pas automatiquement sa convergence, mais permet de déduire des propriétés sur ses bornes (majoration). Cette question teste la rigueur logique du candidat face aux pièges classiques sur la divergence et la convergence.