Oui
Géométrie dans l'espace
Produit scalaire
Équation cartésienne de plan
Représentation paramétrique de droite
Calcul de volume
Tétraèdre
Sujet Bac Corrigé - Géométrie dans l'espace - Centres Étrangers - 2021 - Ex 4 - Corrigé
31 mai 2021
Terminale Spécialité
Prêt à conquérir la 3D ? 🚀 Cet exercice de Géométrie dans l'espace est un incontournable pour booster tes compétences avant le Bac. Tu vas manipuler les points et les vecteurs pour dompter les propriétés fondamentales de l'espace.
Au programme de ton entraînement :
- Démontrer qu'un triangle est rectangle grâce au produit scalaire. ✅
- Maîtriser l'équation cartésienne d'un plan et les représentations paramétriques de droites.
- Calculer le volume d'un tétraèdre et débusquer un angle précis grâce à la trigonométrie. 🧠
⚠️ Attention au piège : reste bien concentré sur le calcul des coordonnées du point H, le projeté orthogonal ! C'est le moment de prouver que l'espace n'a plus de secrets pour toi. Relève le défi et fais le plein de confiance ! 🔥
✅ Correction
🫣
Correction Masquée
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Analyse de l'Exercice 4 : Géométrie dans l'espace - Bac 2021 Centres Étrangers
Cet exercice de géométrie dans l'espace est un classique des épreuves du Baccalauréat scientifique. Il mobilise l'ensemble des outils analytiques permettant d'étudier des configurations tridimensionnelles (points, droites, plans, volumes) dans un repère orthonormé.
Compétences et clés de réussite
Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences fondamentales du programme de Terminale, notamment l'utilisation du produit scalaire et la représentation paramétrique.
1. Démontrer l'orthogonalité et caractériser un plan
La première partie de l'exercice demande de vérifier la nature d'un triangle. La méthode clé ici est l'utilisation du produit scalaire. Si le produit scalaire de deux vecteurs directeurs est nul, les vecteurs sont orthogonaux, ce qui permet de conclure sur la présence d'un angle droit.
Ensuite, la notion de vecteur normal est centrale. Pour prouver qu'un vecteur est normal à un plan, il faut démontrer qu'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Une fois le vecteur normal validé, l'établissement de l'équation cartésienne du plan de la forme ax + by + cz + d = 0 est une application directe, où (a, b, c) sont les coordonnées du vecteur normal.
2. Intersection Droite-Plan et Projeté Orthogonal
Une compétence technique récurrente est la détermination du projeté orthogonal d'un point sur un plan. Cela s'effectue en deux étapes :
- Établir une représentation paramétrique de la droite passant par le point et dirigée par le vecteur normal au plan.
- Trouver le point d'intersection H entre cette droite et le plan en résolvant le système formé par les équations paramétriques et l'équation cartésienne.
Ce point H est crucial car il matérialise la hauteur du tétraèdre issue du sommet S.
3. Calculs de volumes et d'angles
L'exercice se termine par des calculs métriques. Le calcul du volume d'un tétraèdre nécessite de connaître l'aire de la base (ici un triangle rectangle, facile à calculer) et la hauteur (la distance SH). La rigueur dans le calcul des distances (norme d'un vecteur) est indispensable.
Enfin, la déduction d'une mesure d'angle fait souvent appel à la relation liant le produit scalaire aux normes des vecteurs et au cosinus de l'angle, ou à l'utilisation du théorème d'Al-Kashi généralisé, permettant de relier les longueurs des côtés d'un triangle à ses angles.
En résumé, cet exercice numéro 4 du sujet Centres Étrangers 2021 est un excellent entraînement pour synthétiser les connaissances sur les vecteurs, les équations de plans et de droites, ainsi que la géométrie métrique dans l'espace.