Compétences et clés de réussite

Cet exercice 1 du sujet de Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2023 (Métropole, Sujet 1) est un Questionnaire à Choix Multiple (QCM). Ce format exige non seulement une maîtrise technique des concepts, mais aussi une capacité à vérifier rapidement ses résultats sans rédiger de justification formelle. Voici les points essentiels pour réussir ce type d'épreuve.

1. Lecture et interprétation d'un arbre de probabilité

Le début de l'exercice repose sur la modélisation d'une situation classique de contrôle qualité (machines sous garantie et/ou défectueuses). La première compétence clé est de traduire l'énoncé en un arbre pondéré ou de compléter celui fourni. Il est crucial de distinguer :

• La probabilité simple (ex: $P(G)$) située sur la première branche.
• La probabilité conditionnelle (ex: $P_G(D)$ ou $P(D|G)$) située sur la seconde branche.
• La probabilité de l'intersection (ex: $P(G \cap D)$) qui s'obtient par le produit des branches du chemin correspondant.

Une erreur fréquente consiste à confondre $P_A(B)$ et $P(A \cap B)$. Dans ce sujet, la maîtrise de la formule des probabilités totales est également indispensable pour calculer la probabilité d'un événement situé en fin d'arbre (ici, l'événement $D$).

2. Inversion du conditionnement (Formule de Bayes)

L'une des questions demande de calculer la probabilité qu'une machine soit sous garantie sachant qu'elle est défectueuse. Cela fait appel à la notion de probabilité conditionnelle "inverse". La réussite dépend de la capacité à appliquer rigoureusement la définition : $P_D(G) = \frac{P(G \cap D)}{P(D)}$. Avoir correctement calculé $P(D)$ à l'étape précédente est donc un prérequis absolu.

3. Maîtrise de la Loi Binomiale

La seconde partie de l'exercice bascule sur une répétition d'expériences identiques et indépendantes (tirage avec remise), caractérisant une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$. Les points de vigilance sont :

• Le calcul de probabilités cumulées : Pour calculer $P(X > k)$, il est souvent plus rapide de passer par l'événement contraire $1 - P(X \le k)$ et d'utiliser les fonctionnalités de la calculatrice.
• La recherche de seuil (inéquation sur $n$) : La dernière question demande de trouver la taille $n$ du lot pour garantir une certaine probabilité. Cela conduit à résoudre une inéquation du type $P(X=0) > 0,4$, soit $(1-p)^n > 0,4$. La résolution nécessite l'utilisation du logarithme népérien ($\ln$) pour isoler l'inconnue $n$ en exposant, en faisant attention au changement de sens de l'inégalité lors de la division par un nombre négatif (car $\ln(1-p) < 0$).

En résumé, cet exercice teste la capacité à naviguer entre lecture graphique d'un arbre, calculs conditionnels et manipulation algébrique des paramètres d'une variable aléatoire discrète.