Analyse de l'exercice : Étude approfondie d'une fonction logarithme

Cet exercice 4 du sujet 1 du Baccalauréat 2023 pour la Nouvelle-Calédonie est un classique de l'analyse réelle. Il propose une étude complète d'une fonction définie sur l'intervalle des réels strictement positifs, mêlant polynômes et logarithme népérien. L'objectif est de tester la maîtrise des élèves sur les outils fondamentaux du calcul différentiel et leur capacité à enchainer les déductions logiques.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit mobiliser plusieurs savoir-faire essentiels du programme de Terminale Spécialité Mathématiques :

• Calcul de limites et croissances comparées : Dès la première question, l'élève est confronté aux bornes du domaine de définition. Il faut maîtriser les limites usuelles, notamment la limite de référence en zéro ($x \ln(x)$) et savoir lever une forme indéterminée en $+\infty$ par factorisation.
• Dérivation et calcul algébrique : La fonction $f$ nécessite l'application rigoureuse de la dérivée d'un produit ($uv' + u'v$). Une erreur de signe ou de calcul à cette étape compromettrait la suite de l'exercice.
• Convexité et dérivée seconde : C'est le cœur de la partie intermédiaire. L'exercice demande explicitement de calculer $f''(x)$. L'interprétation géométrique du signe de la dérivée seconde est cruciale : savoir lier la positivité de $f''$ à la convexité de la fonction et à la position relative de la courbe par rapport à ses tangentes.
• Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : L'étude des variations de la dérivée $f'$ permet d'établir l'existence et l'unicité d'une solution $\alpha$ à l'équation $f'(x) = 0$. Il faut savoir rédiger proprement l'application du corollaire du TVI (continuité et stricte monotonie).
• Exploitation algébrique de la solution $\alpha$ : La dernière partie est plus technique. Elle demande de ne pas utiliser une valeur approchée de $\alpha$, mais d'utiliser la relation $f'(\alpha)=0$ pour simplifier l'expression de $f(\alpha)$. Cette méthode permet d'obtenir une expression polynomiale du maximum, plus simple à encadrer.

En résumé, cet exercice de Nouvelle-Calédonie Sujet 1 est un excellent entraînement pour réviser l'articulation entre dérivée première (variations), dérivée seconde (convexité) et l'optimisation d'une fonction via l'utilisation d'une variable auxiliaire définie par le TVI.