Compétences et clés de réussite

Cet exercice 1 du Sujet 2 du Baccalauréat 2023 (Centres Étrangers Groupe 1) est un questionnaire à choix multiples (QCM). Ce format est fréquent pour balayer un large éventail de notions du programme de Terminale sans exiger de rédaction détaillée. Pour réussir ce type d'épreuve, l'élève doit maîtriser plusieurs concepts fondamentaux de l'analyse et des probabilités.

1. Calcul de primitives et fonction exponentielle

La première question porte sur la recherche d'une primitive d'une fonction de la forme $xe^x$. Deux méthodes s'offrent au candidat :

• Calculer la dérivée de chaque proposition pour vérifier laquelle redonne la fonction $f$ initiale. C'est souvent la méthode la plus rapide et la plus sûre en QCM.
• Rechercher directement la primitive par identification (forme $(ax+b)e^x$) ou intégration par parties.

La maîtrise de la dérivée d'un produit $u \times v$ est ici indispensable.

2. Analyse graphique et convexité

La deuxième question demande une interprétation graphique fine liant la courbe de la fonction $f$, ses dérivées première $f'$ et seconde $f''$. Les clés de réussite résident dans la compréhension des liens logiques suivants :

• Le signe de la dérivée $f'$ indique les variations de $f$ (croissante/décroissante).
• Le signe de la dérivée seconde $f''$ indique la convexité de la fonction.
• Un point d'inflexion correspond à l'endroit où la courbe traverse sa tangente et où $f''$ s'annule en changeant de signe.

3. Limites et systèmes d'équations

La troisième question mélange étude de limites et résolution de système. L'élève doit savoir manipuler les limites de la fonction exponentielle (notamment $e^{-t}$ quand $t$ tend vers l'infini) pour traduire les données de l'énoncé en équations portant sur les inconnues $a$ et $b$.

4. Probabilités conditionnelles

La quatrième question est un classique des probabilités : le calcul d'une probabilité conditionnelle inverse (probabilité de la cause sachant l'effet). La méthode infaillible consiste à :

1. Tracer un arbre pondéré représentant l'expérience (choix de l'urne, puis tirage de la boule).
2. Calculer la probabilité totale de l'événement « obtenir une boule verte » à l'aide de la formule des probabilités totales.
3. Appliquer la formule de la probabilité conditionnelle : $P_V(B) = \frac{P(B \cap V)}{P(V)}$.

5. Algorithmique et langage Python

Enfin, la dernière question teste la compréhension d'un algorithme de somme cumulative. Il faut être attentif à la syntaxe de la boucle for et à la fonction range(n) en Python, qui s'arrête toujours à l'entier $n-1$. L'élève doit identifier le script qui additionne correctement les termes de la série harmonique jusqu'au rang demandé.