Présentation de l'exercice

Cet exercice 1 du sujet 2 de La Réunion 2023 est un classique incontournable des épreuves de spécialité mathématiques. Il aborde les probabilités dans un contexte concret de vente de matelas, divisé en deux parties indépendantes : une analyse conditionnelle via un arbre pondéré et une modélisation par la loi binomiale.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs notions fondamentales du programme de Terminale :

• Construction et lecture d'un arbre pondéré : La première partie exige de traduire un énoncé littéral en probabilités mathématiques ($P(R)$, $P_R(S)$, etc.) et de compléter un arbre. Une attention particulière doit être portée à la notation des événements contraires.
• Formule des probabilités totales : Pour retrouver la valeur inconnue $x$ (probabilité conditionnelle), il est nécessaire d'utiliser la formule des probabilités totales. C'est une étape clé qui relie les différentes branches de l'arbre à une probabilité globale donnée dans l'énoncé.
• Probabilités inverses : L'exercice demande de calculer la probabilité d'une cause sachant l'effet (probabilité d'avoir acheté un matelas Ressorts sachant que le client est satisfait). Cela implique l'utilisation de la définition de la probabilité conditionnelle $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
• Justification de la loi binomiale : Dans la seconde partie, il faut identifier un schéma de Bernoulli (succès/échec) répété de manière identique et indépendante pour justifier l'usage de la loi binomiale et préciser ses paramètres $n$ et $p$.
• Calculs sur la loi binomiale : Savoir utiliser sa calculatrice pour déterminer $P(X \le k)$ est indispensable pour gagner du temps et assurer la précision des résultats.
• Résolution d'inéquations avec puissances : La dernière question demande de trouver un seuil $n$ tel que $p_n < 0,01$. Cela requiert généralement l'utilisation du logarithme népérien (ln) pour isoler l'inconnue en exposant, tout en faisant attention au sens de l'inégalité lors de la division par un logarithme négatif (car $\ln(0,82) < 0$).

Cet exercice est un excellent entraînement pour vérifier la solidité des acquis en probabilités discrètes et en manipulation algébrique des inéquations exponentielles.