Analyse du QCM de Géométrie dans l'espace - Bac Spé Maths 2023

L'exercice 3 du sujet 1 du Baccalauréat 2023 pour la zone Amérique du Nord est un questionnaire à choix multiple (QCM) portant exclusivement sur la géométrie dans l'espace. Ce type d'exercice est fréquent dans les épreuves de spécialité mathématiques. Il teste la capacité des élèves à manipuler des coordonnées, des vecteurs, des équations cartésiennes et paramétriques sans nécessairement exiger une rédaction détaillée, bien que le brouillon soit indispensable pour identifier la bonne réponse parmi les quatre proposées.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs notions fondamentales du programme de Terminale :

1. Nature d'un triangle dans l'espace

La première question demande de déterminer la nature du triangle ABC à partir des coordonnées des points. La méthode la plus efficace consiste à calculer les longueurs des côtés (AB, AC, BC) ou d'utiliser le produit scalaire pour vérifier la présence d'un angle droit. Si deux vecteurs sont orthogonaux, leur produit scalaire est nul. Il faut également vérifier l'égalité des longueurs pour conclure sur le caractère isocèle ou équilatéral.

2. Équation cartésienne de plan

Pour identifier l'équation cartésienne du plan (BCD), deux approches sont possibles. La méthode constructive consiste à trouver un vecteur normal au plan (vecteur orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan, comme les vecteurs BC et BD). La méthode par vérification, souvent plus rapide en QCM, consiste à tester les coordonnées des points B, C et D dans les équations proposées. L'équation correcte doit être vérifiée par les trois points simultanément.

3. Projeté orthogonal d'un point sur un plan

La détermination des coordonnées du projeté orthogonal H d'un point D sur un plan (ABC) repose sur deux conditions :

• Le point H doit appartenir au plan (ABC), donc ses coordonnées doivent vérifier l'équation du plan.
• Le vecteur DH doit être colinéaire au vecteur normal du plan (ABC).

En QCM, on peut tester l'appartenance des points proposés au plan et vérifier la colinéarité du vecteur formé avec le vecteur normal du plan.

4. Position relative de deux droites

Cette question confronte une droite définie par deux points (BC) et une droite définie par une représentation paramétrique. Il s'agit de savoir si elles sont confondues, parallèles, sécantes ou non coplanaires. L'analyse passe par l'étude des vecteurs directeurs pour tester le parallélisme. Si elles ne sont pas parallèles, il faut résoudre un système pour déterminer si elles sont sécantes ou non coplanaires (absence de point d'intersection).

5. Intersection de deux plans

Enfin, l'exercice demande d'étudier l'intersection entre le plan (ABC) et un autre plan P. Il faut d'abord regarder les vecteurs normaux pour savoir si les plans sont parallèles. S'ils sont sécants, l'intersection est une droite. Pour identifier laquelle (AB, AC ou BC), on peut vérifier si les points définissant ces droites appartiennent aux deux plans à la fois.

Ce QCM est un excellent entraînement pour réviser les automatismes de calcul vectoriel et la vision dans l'espace, des compétences essentielles pour l'épreuve écrite.