Analyse de l'exercice de Géométrie dans l'espace - Bac Spé Maths 2023

Cet exercice, issu du Sujet 1 de la session de remplacement de septembre 2023 en Métropole, est un classique de la géométrie dans l'espace rapportée à un repère orthonormé. Il mobilise l'ensemble des outils vectoriels et analytiques attendus en classe de Terminale, allant de la caractérisation d'un plan à l'étude de distances et de projections orthogonales.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs savoir-faire essentiels du programme de spécialité mathématiques :

• Démontrer l'existence d'un plan : Il est crucial de savoir vérifier que trois points ne sont pas alignés en montrant la non-colinéarité des vecteurs formés par ces points (par exemple $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$).
• Orthogonalité et vecteurs normaux : Une compétence clé est de démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan. Cela revient souvent à prouver que le vecteur directeur de la droite est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan, en utilisant le produit scalaire (le résultat doit être nul).
• Équation cartésienne de plan : Le passage de la géométrie vectorielle à l'équation de type $ax + by + cz + d = 0$ est incontournable. Ici, les coefficients $a, b, c$ correspondent aux coordonnées d'un vecteur normal au plan. Il faut ensuite déterminer $d$ en utilisant les coordonnées d'un point appartenant au plan.
• Interaction Droite-Plan : L'exercice demande de vérifier l'inclusion d'une droite définie par une représentation paramétrique dans un plan. La méthode consiste à substituer les expressions de $x, y, z$ en fonction du paramètre $t$ dans l'équation cartésienne du plan et à vérifier l'égalité pour tout réel $t$.
• Projeté orthogonal et distance : La dernière partie aborde un problème d'optimisation géométrique. Savoir identifier le projeté orthogonal $H$ d'un point sur une droite est fondamental pour calculer la distance minimale entre ce point et la droite. Cela implique souvent de travailler avec le produit scalaire (orthogonalité entre le vecteur formé par le point et son projeté, et le vecteur directeur de la droite) ou de trouver la valeur du paramètre $t$ correspondant au minimum de distance.

En résumé, cet exercice numéro 2 du sujet de Métropole Septembre 2023 (Sujet 1) demande de la rigueur dans les calculs de coordonnées et une bonne vision des configurations spatiales (plans, droites, orthogonalité).