Analyse globale de l'exercice QCM

Cet exercice du Baccalauréat 2023, issu de la session d'Amérique du Nord (Sujet 2), est un Questionnaire à Choix Multiple (QCM). Ce format est classique dans les épreuves de spécialité mathématiques et permet de balayer un large spectre du programme en peu de temps. L'enjeu pour le candidat est de mobiliser rapidement des connaissances précises sans avoir à rédiger de justification détaillée, bien que le brouillon soit indispensable pour vérifier ses intuitions.

Les cinq questions sont indépendantes et couvrent l'analyse (fonctions, suites) et les probabilités (variables aléatoires, loi binomiale).

Compétences et clés de réussite

1. Calcul de limites avec logarithme

La première question porte sur l'étude asymptotique d'une fonction faisant intervenir le logarithme népérien. La clé réside dans l'identification d'une forme indéterminée ou l'utilisation des croissances comparées. Il faut savoir comment se comporte le rapport $\frac{\ln x}{x}$ lorsque $x$ tend vers l'infini pour conclure sur la limite globale de l'expression.

2. Continuité et Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Cette question demande d'analyser les propriétés d'une fonction continue sur un intervalle fermé, connaissant les images de certains points clés. Pour réussir, il faut :

• Comprendre que la continuité assure qu'il n'y a pas de "saut" dans la courbe.
• Savoir appliquer le Théorème des Valeurs Intermédiaires pour valider l'existence de solutions à une équation du type $h(x)=k$.
• Être vigilant sur les intervalles : vérifier si la valeur cible (ici 1) est bien comprise entre les images des bornes de l'intervalle proposé (ici entre $h(1)$ et $h(3)$).

3. Opérations sur les limites de suites

Il s'agit d'analyser le comportement asymptotique du quotient de deux suites. La compétence requise est la maîtrise de l'algèbre des limites. Si le numérateur tend vers 0 et le dénominateur vers l'infini, l'élève doit être capable de déterminer intuitivement vers quoi tend le quotient global, sans se laisser piéger par des formes indéterminées qui n'en sont pas ici.

4. Espérance mathématique et jeu d'argent

Ce type de question contextuelle nécessite de modéliser la situation par une variable aléatoire représentant le gain algébrique. Les étapes clés sont :

• Lister les issues possibles (résultat du dé).
• Associer à chaque issue le gain net (Gain brut - Mise de départ).
• Calculer l'espérance $E(X) = \sum p_i x_i$.
• Interpréter le résultat : une espérance négative signifie une perte moyenne pour le joueur.

5. Paramètres de la loi binomiale

La dernière question teste la connaissance de la formule de la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$. L'information donnée concerne la probabilité d'avoir 0 succès, soit $P(X=0)$. La réussite repose sur la capacité à écrire cette probabilité en fonction de $p$ (c'est-à-dire $(1-p)^n$), puis à résoudre une équation simple faisant intervenir une racine cubique ou une déduction logique pour retrouver la valeur de $p$ ou en déduire $P(X=1)$.