Compétences et clés de réussite

Cet exercice 4 du sujet 2 de Métropole 2025 propose une modélisation classique en physique : l'arrêt d'un chariot sur une zone de freinage. Il s'agit d'un problème complet qui mobilise trois grands piliers du programme de Terminale : l'analyse graphique, la résolution d'équations différentielles et le calcul intégral.

1. Analyse graphique et lien avec la dérivée

La Partie A commence par une lecture graphique. La clé de réussite réside ici dans la capacité à interpréter géométriquement les données :

• Lire une image et une limite (asymptote horizontale).
• Lier le nombre dérivé $d'(a)$ au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$.
• Interpréter la dérivée de la distance par rapport au temps comme étant la vitesse instantanée.

2. Équations différentielles linéaires

La Partie B est le cœur analytique du problème. L'élève doit maîtriser la résolution des équations différentielles linéaires du premier ordre de type $y' + ay = f(t)$. Les étapes attendues sont rigoureuses :

• Résoudre l'équation homogène associée $(E') : y' + 0,6y = 0$.
• Vérifier qu'une fonction donnée est solution particulière de l'équation complète.
• Composer la solution générale et utiliser la condition initiale $v(0) = 12$ pour identifier l'unique solution du problème.

Une fois la fonction vitesse $v(t)$ établie, l'étude de fonction classique reprend ses droits : calcul de la dérivée (forme $(uv)'$), étude du signe pour les variations, et calcul de limites (ici avec croissance comparée ou factorisation pour lever l'indétermination). L'utilisation du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) est indispensable pour déterminer l'instant précis où la vitesse atteint un seuil critique.

3. Calcul intégral et Intégration par Parties (IPP)

La Partie C fait le lien entre la vitesse et la distance parcourue, définie comme l'intégrale de la vitesse. Le point technique majeur est la mise en œuvre d'une intégration par parties.

Pour réussir cette étape, il faut choisir judicieusement les fonctions $u(t)$ et $v'(t)$ pour simplifier l'intégrale résultante. C'est une compétence technique qui demande de la pratique pour ne pas faire d'erreurs de signes ou de primitives. Enfin, l'exercice demande d'appliquer ce résultat pour calculer une valeur numérique précise, nécessitant une bonne maîtrise de la calculatrice pour donner l'arrondi demandé.

En résumé, cet exercice est un excellent test de synthèse qui vérifie non seulement la maîtrise technique (calculs, primitives, équations diff) mais aussi la capacité à modéliser et interpréter des résultats mathématiques dans un contexte concret.