Analyse de l'Exercice 3 : Géométrie dans l'espace et raisonnement logique

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Asie 2025, Sujet 2) se présente sous la forme d'un questionnaire de type Vrai/Faux avec justification. Ce format est classique mais exigeant : une simple réponse affirmative ou négative ne rapporte aucun point. L'élève doit démontrer une maîtrise parfaite des concepts de géométrie vectorielle dans un repère orthonormé.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, les candidats doivent mobiliser plusieurs savoir-faire fondamentaux du programme de Terminale :

• Maîtriser les vecteurs normaux et directeurs : La première affirmation demande de vérifier l'orthogonalité entre une droite et un plan. La clé est d'identifier le vecteur directeur de la droite à partir de sa représentation paramétrique et le vecteur normal du plan via son équation cartésienne ($ax+by+cz+d=0$). La colinéarité de ces deux vecteurs est la condition sine qua non de l'orthogonalité géométrique.
• Utiliser le produit scalaire pour les mesures d'angles : L'affirmation 2 requiert le calcul d'un angle géométrique. La méthode attendue repose sur la définition du produit scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)$. Il faut savoir calculer les coordonnées des vecteurs, leurs normes, leur produit scalaire, puis isoler le cosinus pour en déduire l'angle en degrés.
• Gérer l'intersection de deux plans : L'affirmation 3 traite de l'intersection de deux plans $P$ et $P'$. Plutôt que de résoudre le système d'équations (ce qui est possible mais long), une méthode efficace consiste à vérifier si la représentation paramétrique proposée pour la droite $\Delta$ satisfait simultanément les équations cartésiennes des deux plans.
• Comprendre la projection orthogonale : La dernière affirmation aborde la notion de projeté orthogonal d'un point sur une droite. Pour valider ou réfuter cette proposition, il faut vérifier deux conditions cumulatives : le point proposé appartient-il à la droite ? Le vecteur formé par le point d'origine et son projeté supposé est-il orthogonal au vecteur directeur de la droite support ?

En résumé, cet exercice ne demande pas seulement de trouver la bonne réponse, mais de structurer un raisonnement hypothético-déductif clair. La rigueur dans les calculs de coordonnées et la connaissance précise des conditions d'appartenance et d'orthogonalité sont indispensables pour obtenir la note maximale.