Compétences et clés de réussite

Cet exercice 3 du sujet de Baccalauréat Amérique du Nord 2025 (Sujet 2) est un classique incontournable de l'épreuve de spécialité mathématiques. Il aborde la modélisation d'une situation sanitaire (virus et vaccination) à l'aide des probabilités conditionnelles, suivie d'une application de la loi binomiale. Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences fondamentales.

1. Lecture d'énoncé et traduction en langage probabiliste

La première difficulté réside souvent dans la traduction des données textuelles en écritures mathématiques. L'élève doit être capable de distinguer une probabilité simple (ex: "2 % de la population") d'une probabilité conditionnelle (ex: "62 % des personnes contaminées avaient été vaccinées").

• Conseil clé : Repérez les mots-clés comme "sachant que", "parmi", ou le contexte qui restreint l'univers. Ici, savoir écrire $P_C(V)$ au lieu de $P(C \cap V)$ est crucial pour la suite.

2. Manipulation de l'arbre pondéré et des intersections

L'exercice demande de compléter un arbre de probabilités et de calculer des intersections. La relation fondamentale $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ est centrale. Une subtilité de ce sujet réside dans l'utilisation de la formule des probabilités totales ou de la partition de l'événement $V$ pour déduire $P(\overline{C} \cap V)$ à partir de $P(V)$ global et de $P(C \cap V)$.

• Point de vigilance : Assurez-vous que la somme des probabilités sur les branches issues d'un même nœud est toujours égale à 1.

3. Inversion du conditionnement et interprétation

Le calcul de $P_V(C)$ (probabilité d'être contaminé sachant qu'on est vacciné) fait appel à la définition de la probabilité conditionnelle : $P_V(C) = \frac{P(C \cap V)}{P(V)}$. L'interprétation des résultats est tout aussi importante : les questions Vrai/Faux demandent de comparer des probabilités conditionnelles ou des effectifs relatifs. Il faut être rigoureux sur le choix de l'univers de référence (le dénominateur) pour valider ou réfuter les affirmations (ex: "Parmi les personnes non contaminées").

4. Maîtrise de la Loi Binomiale

La dernière partie de l'exercice bascule sur une loi de probabilité discrète. La justification du modèle binomial est un attendu standard :

• Identifier l'épreuve de Bernoulli (Succès/Échec) : ici être contaminé ou non.
• Noter la répétition de l'épreuve $n$ fois de manière identique et indépendante (tirage avec remise).
• Préciser les paramètres $n$ et $p$.

Enfin, le calcul de $P(X=k)$ nécessite de connaître la formule du cours impliquant le coefficient binomial, ou de savoir utiliser parfaitement sa calculatrice. L'arrondi demandé (ici à $10^{-4}$) doit être respecté scrupuleusement pour obtenir tous les points.