Compétences et clés de réussite

Cet exercice 4 du sujet Asie 2025 (Sujet 2) est un classique de la modélisation mathématique appliquée aux sciences physiques. Il propose l'étude de l'évolution de la température d'une réaction chimique. Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser l'analyse de fonctions exponentielles et le calcul intégral.

1. Lien entre graphisme, équations différentielles et fonction

La première partie demande de faire le lien entre une représentation graphique, une condition initiale ($f(0)$) et une équation différentielle linéaire du premier ordre. C'est une compétence transversale importante : savoir identifier les paramètres d'une fonction de type $f(t) = (at+b)e^{-kt}$ en utilisant des données contextuelles.

2. Étude complète de la fonction exponentielle

La partie B est une étude de fonction standard mais exigeante. Les points clés sont :

• La dérivation : Il faut dériver une fonction produit de la forme $u(t) \times v(t)$. La maîtrise de la dérivée de $e^{u(t)}$ est indispensable pour factoriser correctement l'expression par l'exponentielle (qui est toujours positive) et ainsi étudier le signe du polynôme résiduel.
• Variations et TVI : L'étude du signe de la dérivée mène au tableau de variations. L'utilisation du Théorème des Valeurs Intermédiaires (ou son corollaire pour les fonctions strictement monotones) est requise pour démontrer l'unicité d'une solution à l'équation $f(t) = 40$.

3. Calcul intégral et Intégration par Parties (IPP)

La dernière section aborde le calcul intégral sous l'angle de la valeur moyenne d'une fonction. La difficulté technique majeure réside dans le calcul de la primitive.

Ici, la forme $(at+b)e^{-0,5t}$ impose l'utilisation d'une intégration par parties. Le candidat doit savoir poser judicieusement $u(t)$ et $v'(t)$ pour simplifier l'intégrale. Une erreur de signe ou de constante dans la primitive de l'exponentielle ($e^{-0,5t}$ donnant $\frac{1}{-0,5}e^{-0,5t}$) est fréquente et doit être évitée. Enfin, l'interprétation concrète du résultat (température moyenne) permet de valider la cohérence de la réponse numérique.