Analyse du sujet et thématiques abordées

Cet exercice de mathématiques, extrait du Baccalauréat 2022 (Métropole, Sujet 1), est un classique de la spécialité mathématiques en Terminale. Il permet d'évaluer la maîtrise des probabilités discrètes à travers une situation concrète d'entreprise proposant une formation à ses salariés. L'exercice est structuré en trois parties indépendantes ou semi-indépendantes, couvrant les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et une application statistique simple.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit mobiliser plusieurs savoir-faire essentiels :

• Modélisation par arbre pondéré : La première étape consiste à traduire les données de l'énoncé (pourcentages) en probabilités ($P(A)$, $P_A(B)$). La construction rigoureuse de l'arbre est fondamentale pour visualiser les intersections et les probabilités conditionnelles.
• Calcul de probabilités conditionnelles : Il faut savoir manipuler la formule $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Souvent, le dénominateur s'obtient via la formule des probabilités totales ou, comme ici, est donné directement pour déduire d'autres valeurs.
• Justification de la loi binomiale : La deuxième partie introduit une variable aléatoire $X$. Il est impératif de justifier le modèle binomial en citant les critères : répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (tirage avec remise). L'identification des paramètres $n$ (nombre d'essais) et $p$ (probabilité du succès) est requise.
• Utilisation de la calculatrice : Le calcul de $P(X=k)$ ou $P(X \ge k)$ nécessite une bonne maîtrise des fonctions statistiques de la calculatrice pour éviter les erreurs d'arrondi.
• Algorithmique (Python) : L'exercice propose une fonction Python calculant une somme cumulée. L'élève doit comprendre que la boucle for additionne les probabilités pour calculer $P(X \le k)$ et interpréter ce résultat dans le contexte (probabilité qu'au plus $k$ succès se réalisent).
• Calcul de moyenne pondérée : La dernière question demande de calculer un taux moyen d'augmentation. C'est une application directe de la notion d'espérance ou de moyenne pondérée par les effectifs (ou ici, par les probabilités des événements contraires).

En résumé, cet exercice numéro 3 du sujet 1 de Métropole 2022 est un excellent entraînement pour réviser l'ensemble du chapitre sur les probabilités. Il demande de la rigueur dans la notation des événements et une bonne compréhension des liens entre langage naturel (pourcentages) et langage mathématique.