Compétences et clés de réussite

Cet exercice de probabilités, tiré du sujet 1 du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2022 (Amérique du Nord), couvre un large spectre des attendus du programme de Terminale. Il est structuré en trois parties distinctes, permettant d'évaluer la maîtrise des probabilités conditionnelles, des variables aléatoires discrètes et de la loi binomiale.

1. Probabilités conditionnelles et arbres pondérés

La première partie est un classique de l'analyse conditionnelle. L'élève doit être capable de modéliser une situation réelle (choix du transport et risque de rater le train) par un arbre pondéré. Les compétences clés ici sont :

• La traduction de l'énoncé en événements mathématiques ($V$, $\bar{V}$, $R$, $\bar{R}$).
• L'utilisation de la formule des probabilités totales pour déterminer la probabilité d'un événement situé en bout de branche.
• Le calcul d'une probabilité conditionnelle inverse (type Bayes), souvent formulée comme "Sachant que l'événement R est réalisé, quelle est la probabilité que...". Il est crucial de ne pas confondre $P_R(V)$ et $P(R \cap V)$.

2. Répétition d'épreuves et Loi Binomiale

La seconde partie introduit une variable aléatoire $X$ comptant le nombre de succès (prendre le vélo) sur une période de 20 jours. L'indépendance des jours étant supposée, il s'agit d'identifier une situation modélisable par une loi binomiale. Les points de vigilance incluent :

• La justification rigoureuse du choix de la loi (répétition, indépendance, deux issues).
• L'identification précise des paramètres $n$ (nombre d'essais) et $p$ (probabilité du succès).
• L'utilisation efficace de la calculatrice pour évaluer des probabilités ponctuelles ($P(X=k)$) ou cumulées ($P(X \geq k)$), en faisant attention aux arrondis demandés (ici à $10^{-3}$).
• Le calcul de l'espérance $E(X) = n \times p$ et son interprétation concrète en termes de nombre moyen de jours.

3. Espérance d'une variable aléatoire discrète

La dernière partie propose une étude statistique simple basée sur un tableau de loi de probabilité. L'objectif est de calculer l'espérance mathématique d'une variable $T$ représentant le temps de trajet. La réussite repose sur l'application correcte de la formule de l'espérance (somme des produits $k \times P(T=k)$) et la capacité à interpréter ce résultat comme une valeur moyenne sur un grand nombre de trajets.