Analyse du QCM : Suites, Fonctions et Primitives

L'exercice 4 du sujet 2 du Baccalauréat de mathématiques 2022 pour la zone Nouvelle-Calédonie est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce type d'exercice est excellent pour balayer rapidement plusieurs notions fondamentales du programme de Terminale sans nécessiter de rédaction approfondie, bien que le raisonnement au brouillon doive être rigoureux.

Le sujet aborde trois thèmes majeurs : l'analyse asymptotique des suites, l'étude des fonctions (limites et asymptotes) et le calcul de primitives. Voici une analyse détaillée des compétences requises pour réussir cet exercice.

Compétences et clés de réussite

1. Comportement asymptotique des suites

La première partie du QCM teste votre capacité à déterminer la convergence d'une suite explicite. Ici, la présence du terme (-1)^n indique une alternance de signes. La clé est de ne pas se laisser piéger par ce terme oscillant mais de regarder le dénominateur. L'utilisation du théorème des gendarmes ou simplement l'observation de la limite de la valeur absolue du terme général est souvent la méthode la plus efficace pour conclure sur la convergence vers 0.

2. Suites et composition de fonctions

Les questions suivantes explorent les liens entre deux suites liées par une relation fonctionnelle impliquant l'exponentielle. Pour réussir, il faut maîtriser :

• Les propriétés algébriques du logarithme et de l'exponentielle : Savoir passer de v_0 = ln(a) à une expression simplifiée de w_0 est un classique du calcul littéral.
• Le sens de variation par composition : Si une suite (v_n) est croissante, comment se comporte exp(-2 v_n) ? Il est crucial de se rappeler que la fonction exponentielle est croissante, mais que la multiplication par un nombre négatif ou l'inverse inverse le sens de variation.

3. Suites définies par récurrence

L'exercice propose également d'identifier la formule explicite d'une suite définie par une relation de récurrence linéaire (type arithmético-géométrique). Plutôt que de démontrer la formule par récurrence (ce qui serait long), une astuce efficace en QCM consiste à tester les premiers termes (n=0, n=1) pour éliminer les mauvaises réponses, ou à reconnaître la structure géométrique associée à une suite auxiliaire.

4. Étude de fonctions : Limites et Asymptotes

Une question porte sur la fonction g(x) = e^x / x. Ici, il s'agit de connaître vos croissances comparées et les définitions des asymptotes :

• Une limite infinie en un point fini (ici en 0) indique une asymptote verticale.
• Une limite finie en l'infini indiquerait une asymptote horizontale.

La maîtrise des limites usuelles en 0 et en plus l'infini est indispensable.

5. Calcul de primitives

Enfin, la dernière question demande de trouver une primitive d'une fonction de la forme x * exp(u(x)). C'est une application directe de la dérivée des fonctions composées. L'élève doit reconnaître la forme u' * e^u. Si l'identification directe est difficile, une stratégie payante en QCM est de dériver les propositions de réponses pour voir laquelle redonne la fonction f(x) de l'énoncé.

En résumé, cet exercice 4 demande une bonne agilité mentale pour passer d'un domaine à l'autre et une maîtrise solide des propriétés algébriques des fonctions transcendantes.