Analyse de l'Exercice 3 : Géométrie dans l'espace - Bac Spécialité Mathématiques 2022

Cet exercice du sujet 1 d'Amérique du Nord 2022 est un classique incontournable de l'épreuve de spécialité mathématiques. Il aborde de manière exhaustive les notions fondamentales de la géométrie dans l'espace rapportée à un repère orthonormé. L'objectif est de guider l'élève à travers l'étude d'un tétraèdre, en passant par des calculs de base (distances, angles) jusqu'à des concepts plus avancés comme la projection orthogonale et le calcul de volumes.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences clés du programme de Terminale :

• Manipulation des vecteurs et produit scalaire : La première partie demande de démontrer qu'un triangle est rectangle. La méthode attendue repose sur le calcul des coordonnées de vecteurs et la vérification que leur produit scalaire est nul. C'est le réflexe numéro un à avoir pour prouver l'orthogonalité.
• Calculs d'aires et d'angles : L'élève doit savoir calculer la norme d'un vecteur pour obtenir des longueurs, puis appliquer la formule de l'aire d'un triangle rectangle. Pour l'angle géométrique, l'utilisation des formules de trigonométrie (cosinus ou sinus via le produit scalaire) est nécessaire.
• Équation cartésienne d'un plan : Une compétence majeure est de savoir justifier qu'un vecteur est normal à un plan (en vérifiant l'orthogonalité avec deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan), puis d'en déduire l'équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.
• Représentation paramétrique d'une droite : Il est crucial de savoir déterminer la représentation paramétrique d'une droite définie par un point et un vecteur directeur (ici, le vecteur normal au plan précédemment trouvé).
• Intersection et projection orthogonale : Le cœur de la géométrie analytique réside souvent dans la recherche de l'intersection entre une droite et un plan. Ici, il s'agit de trouver les coordonnées du projeté orthogonal, point d'intersection entre la hauteur issue du sommet du tétraèdre et la base. Cela implique de résoudre un système d'équations mêlant l'équation du plan et la représentation paramétrique de la droite.
• Volume d'un tétraèdre : Enfin, l'exercice se conclut par l'application de la formule du volume (Base × Hauteur / 3). La rigueur dans les calculs précédents est indispensable, car une erreur sur la hauteur ou l'aire de la base fausserait ce résultat final.

En résumé, cet exercice requiert une excellente connaissance des formules de géométrie vectorielle et une grande rigueur dans la résolution des systèmes d'équations. Il permet de valider une large part du chapitre sur l'espace.