Compétences et clés de réussite

Cet exercice complet de géométrie dans l'espace, tiré du sujet 2 du Baccalauréat 2022 en Amérique du Sud, permet de réviser les fondamentaux de la géométrie vectorielle analytique. Il est structuré en quatre parties progressives qui demandent une bonne maîtrise des coordonnées, des vecteurs et des équations.

1. Caractérisation d'un plan

La première étape consiste à manipuler les coordonnées de points pour démontrer qu'ils définissent un plan unique (non-alignement). L'élève doit ensuite vérifier qu'un vecteur donné est normal au plan en utilisant le produit scalaire. Cette étape est cruciale pour déterminer l'équation cartésienne du plan de la forme ax + by + cz + d = 0, une compétence incontournable du programme.

2. Droites et positions relatives

L'exercice teste la capacité à établir une représentation paramétrique d'une droite passant par deux points. Il faut ensuite savoir tester l'appartenance d'un point (ici le milieu d'un segment) à cette droite en résolvant le système d'équations paramétriques associé.

3. Étude métrique du triangle et produit scalaire

Cette partie mobilise le calcul de distances dans l'espace pour déterminer la nature d'un triangle (isocèle, rectangle, etc.) et le calcul de son aire. L'utilisation du produit scalaire est également requise pour calculer l'angle géométrique au sommet, en utilisant la formule liant le produit scalaire aux normes des vecteurs et au cosinus de l'angle.

4. Projection orthogonale et distance

La dernière partie aborde la notion de projeté orthogonal. Pour réussir, il faut comprendre que le vecteur formé par un point et son projeté est colinéaire au vecteur normal du plan. Cela permet de déduire la distance d'un point à un plan, application directe de la géométrie vectorielle à des problèmes de distance minimale.