Analyse de l'Exercice 1 : Probabilités et Suites - Bac Amérique du Nord 2022 (Sujet 2)

Cet exercice est un grand classique des épreuves du Baccalauréat, combinant deux piliers du programme de Spécialité Mathématiques : les probabilités conditionnelles et les suites numériques. Il modélise une situation d'évolution (ici, la répartition de vélos entre deux stations A et B) au cours du temps, ce qui mène naturellement à l'étude d'une suite récurrente. La maîtrise de ce type de sujet est indispensable pour réussir l'examen.

Compétences et clés de réussite

Pour aborder sereinement cet exercice, plusieurs compétences techniques et méthodologiques sont requises :

• Modélisation par arbre pondéré : La première étape consiste à traduire l'énoncé en un arbre de probabilités. Il faut distinguer soigneusement les probabilités conditionnelles (sur les branches secondaires) des probabilités des événements à l'étape $n$. Une lecture attentive des données ("si un vélo se trouve au point A...") est cruciale pour placer correctement les valeurs $0,84$ et $0,76$.
• Formule des probabilités totales : C'est la clé de voûte pour passer de l'étape $n$ à l'étape $n+1$. L'élève doit savoir exprimer $P(A_{n+1})$ en fonction de $P(A_n)$ et $P(B_n)$, puis utiliser la relation $a_n + b_n = 1$ pour obtenir une relation de récurrence univariée du type $a_{n+1} = q \times a_n + r$.
• Calcul de probabilités conditionnelles inversées : L'exercice demande de calculer la probabilité d'un état antérieur sachant l'état actuel (calculer $P_{A_2}(B_1)$). Il faut maîtriser la formule de Bayes ou simplement la définition $P_A(B) = P(A \cap B) / P(A)$.
• Raisonnement par récurrence : Une question demande explicitement de démontrer la forme explicite de la suite ($a_n$ en fonction de $n$). La structure de la démonstration (Initialisation, Hérédité, Conclusion) doit être rigoureuse.
• Étude de limites et inéquations : La fin de l'exercice porte sur l'analyse asymptotique. Il faut savoir déterminer la limite d'une suite géométrique de raison comprise entre -1 et 1 (ici $0,6^n$). Enfin, la résolution de l'inéquation $a_n \geqslant 0,599$ requiert l'utilisation du logarithme népérien ou une méthode par tâtonnement à la calculatrice, en faisant attention au changement de sens de l'inégalité lors de la division par un nombre négatif.

En résumé, cet exercice du sujet 2 d'Amérique du Nord 2022 évalue la capacité à modéliser un problème concret par des outils mathématiques abstraits et à manipuler les suites arithmético-géométriques dans un contexte probabiliste.