Compétences et clés de réussite

Cet exercice du baccalauréat de spécialité mathématiques (Polynésie 2022, Sujet 2) aborde un thème central du programme de Terminale : les probabilités. Il est structuré de manière classique en deux parties distinctes mais complémentaires : l'étude d'une situation aléatoire unique via les probabilités conditionnelles, suivie de la répétition de cette expérience modélisée par une loi binomiale.

1. Maîtriser les probabilités conditionnelles et les arbres

La première partie exige une lecture attentive de l'énoncé pour traduire les pourcentages donnés en probabilités mathématiques. La compétence fondamentale ici est la construction d'un arbre pondéré complet et cohérent. Les élèves doivent identifier l'événement racine (ici, le caractère contrefait ou non du casque) et les événements conditionnels (le défaut de conception).

Les clés de la réussite pour cette section incluent :

• La capacité à calculer l'intersection de deux événements à l'aide des branches de l'arbre ($P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$).
• L'application rigoureuse de la formule des probabilités totales pour déterminer la probabilité d'un événement situé en bout de branche (ici, la probabilité globale d'avoir un défaut).
• Le calcul d'une probabilité conditionnelle « inverse » (sachant que le casque a un défaut, quelle est la probabilité qu'il soit contrefait), qui nécessite de bien distinguer $P_D(C)$ de $P_C(D)$.

2. Modéliser avec la Loi Binomiale

La seconde partie bascule sur la répétition d'expériences identiques et indépendantes (tirage avec remise), ce qui doit immédiatement évoquer le schéma de Bernoulli et la loi binomiale.

Pour obtenir tous les points, il est impératif de :

• Justifier le choix du modèle : préciser que les tirages sont identiques, indépendants, et définir le succès (avoir un défaut) ainsi que les paramètres $n$ et $p$.
• Savoir utiliser la calculatrice ou la formule du cours pour calculer des probabilités exactes ($P(X=k$) ou cumulées ($P(X \leqslant k$).

3. Résolution d'inéquations et Logarithme

La dernière question est un classique des sujets de baccalauréat : la recherche de la taille d'échantillon $n$ nécessaire pour atteindre une certaine probabilité. Il s'agit de résoudre une inéquation du type $P(X \geqslant 1) > 0,99$. La méthode passe par l'événement contraire (aucun défaut) et nécessite l'utilisation des propriétés du logarithme népérien pour isoler l'inconnue $n$ en exposant. Une attention particulière doit être portée au sens de l'inégalité lors de la division par un logarithme négatif (car $\ln(p) < 0$ pour $0 < p < 1$).