Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Asie 2022, Sujet 1) propose une étude classique de modélisation mathématique appliquée à un contexte médical : l'évolution de la concentration d'un médicament dans le sang. Il confronte deux approches fondamentales du programme de Terminale : le modèle discret (suites) et le modèle continu (fonctions).

1. Maîtrise des Suites Numériques

La première partie de l'exercice repose sur l'analyse d'une suite arithmético-géométrique. Pour réussir, le candidat doit savoir :

• Traduire un énoncé concret en relation de récurrence (augmentation fixe et diminution proportionnelle).
• Mener un raisonnement par récurrence rigoureux pour démontrer une propriété d'encadrement ou de monotonie (ici $u_n \leqslant u_{n+1} < 5$).
• Utiliser le théorème de convergence monotone pour justifier l'existence d'une limite.
• Manipuler une suite auxiliaire géométrique pour passer d'une forme récurrente à une forme explicite ($u_n$ en fonction de $n$).

2. Algorithmique et Python

L'exercice intègre une question d'algorithmique typique des épreuves du Bac. Il s'agit de compléter une fonction Python utilisant une boucle conditionnelle while. L'objectif est de déterminer un seuil (le plus petit entier $n$ tel que la condition soit remplie). La compréhension de l'incrémentation et de la condition d'arrêt est essentielle ici.

3. Étude de Fonction Exponentielle

La seconde partie bascule sur un modèle continu avec une fonction du temps faisant intervenir l'exponentielle de base $e$. Les compétences requises incluent :

• L'évaluation de fonctions à des instants donnés (conversion d'heures et minutes en décimales).
• La résolution d'inéquations impliquant l'exponentielle ($e^{ax+b} \geqslant k$) en utilisant le logarithme népérien.
• La capacité critique à comparer les résultats obtenus par les deux modèles (discret et continu).

Ce sujet est un excellent entraînement pour synthétiser les connaissances sur l'évolution des quantités (croissance, décroissance, limite) et offre une application concrète des mathématiques aux sciences du vivant.