Analyse de l'exercice : Modélisation de la sédimentation sanguine

Cet exercice, issu de l'épreuve de Physique-Chimie et Mathématiques (PCM) du Bac STL 2021, constitue un cas d'école sur l'application des équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficient constant. Il s'inscrit parfaitement dans le programme de terminale STI2D et STL, illustrant comment les mathématiques servent à modéliser des phénomènes biologiques concrets, ici la vitesse de sédimentation des hématies.

Les compétences techniques requises

Pour réussir cette épreuve, plusieurs compétences clés sont sollicitées :

• Résolution d'équations différentielles : Passer de la forme y' + ay = b à la solution générale f(t) = Ce^{-at} + b/a.
• Détermination d'une solution particulière : Utilisation de la condition initiale v(0) = 0 pour fixer la constante d'intégration.
• Analyse asymptotique : Calcul de limite à l'infini pour identifier un état stationnaire ou une vitesse limite.
• Interprétation physique : Faire le lien entre les résultats numériques et le comportement réel d'une particule en chute dans un fluide visqueux (Loi de Stokes implicite).

Décryptage du corrigé

L'équation proposée est v'(t) + 1,125 × 10^6 v(t) = 1,811. La solution générale est de la forme v(t) = K e^{-at} + v_L. Ici, le coefficient 'a' est extrêmement élevé (1,125 × 10^6), ce qui indique une convergence quasi instantanée vers la vitesse limite. Le calcul montre que la vitesse limite v_L = 1,811 / (1,125 × 10^6) soit environ 1,610 × 10^-6 m/s.

La limite de v(t) quand t tend vers +∞ est égale à cette valeur constante, car le terme exponentiel s'annule. Physiquement, cela correspond à la vitesse terminale de chute de l'hématie dans le plasma, moment où le poids est compensé par la poussée d'Archimède et les forces de frottement visqueux.