Analyse pédagogique du mouvement rectiligne

Cet exercice de la session 2023 du Bac STL (Physique-Chimie et Mathématiques) se concentre sur l'application des outils mathématiques à l'étude d'un système physique concret : une voiture miniature en roue libre. La problématique centrale repose sur la compréhension du lien étroit entre la position, la vitesse et l'accélération à travers l'opérateur de dérivation. L'énoncé propose une fonction polynomiale du second degré, $x(t) = -0,58 t^2 + 0,65 t$, modélisant la position au cours du temps. L'élève doit démontrer sa capacité à passer d'une grandeur spatiale à une grandeur temporelle dynamique.

Compétences techniques et mathématiques requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences du programme de Terminale STL sont mobilisées :

• Calcul de dérivées : Application de la règle $(t^n)' = n t^{n-1}$. Ici, le passage de la position $x(t)$ à la vitesse $x'(t)$ est l'étape cruciale.
• Interprétation physique : Identification de la dérivée première comme étant la vitesse instantanée $v(t)$ et de la dérivée seconde comme l'accélération $a(t)$.
• Analyse de signe : Comprendre qu'une accélération négative dans le sens du mouvement correspond à une phase de décélération (freinage ou frottements).
• Unités et précision : Respecter les unités du Système International (mètres par seconde et mètres par seconde carrée).

Corrigé pas à pas et méthodologie

Dans la question 3, le calcul de la dérivée donne $x'(t) = -1,16 t + 0,65$. Ce résultat permet d'accéder à la vitesse à tout instant de l'intervalle $[0 ; 0,50]$. À $t = 0$, nous obtenons $x'(0) = 0,65$ m/s, ce qui représente la vitesse initiale de la voiture au moment où elle est lâchée ou observée pour la première fois. Enfin, l'accélération est obtenue en dérivant à nouveau la vitesse : $a(t) = x''(t) = -1,16$ m/s². La valeur constante et négative indique un mouvement rectiligne uniformément décéléré, cohérent avec une voiture en roue libre subissant des forces de frottement.