Compétences et clés de réussite

Cet exercice 1 du sujet de Baccalauréat Mathématiques Spécialité (Polynésie 2022, Sujet 1) est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) balayant un large spectre du programme de Terminale. Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs notions fondamentales d'analyse et d'algorithmique.

1. Analyse de fonctions et logarithme népérien

Les premières questions testent la maîtrise du calcul de dérivées et des primitives, spécifiquement avec la fonction logarithme népérien :

• Dérivation de fonctions composées : Il est indispensable de connaître la formule de dérivation de $\ln(u)$, à savoir $\frac{u'}{u}$. L'erreur classique consiste à oublier de dériver l'argument du logarithme.
• Primitives usuelles : La primitive de la fonction $\ln(x)$ est un résultat de cours classique (souvent démontré par intégration par parties) : $x\ln(x) - x$. Savoir la retrouver ou la vérifier par dérivation est essentiel.

2. Comportement asymptotique des suites

La question sur les suites demande d'analyser une forme indéterminée du type $\frac{\infty}{\infty}$ impliquant des puissances ($3^n$ et $2^n$). La clé de résolution réside dans la factorisation par le terme prépondérant (celui qui a la plus grande base) ou l'utilisation du théorème des croissances comparées pour identifier que la limite dépendra du terme $3^n$.

3. Convexité et lien entre $f$, $f'$ et $f''$

Deux questions abordent l'analyse des variations et de la convexité, mais sous des angles différents (tableau de variations et lecture graphique) :

• Convexité via le tableau de variations de $f'$ : Il ne faut pas confondre le signe de $f'$ (qui donne les variations de $f$) et les variations de $f'$ (qui donnent la convexité de $f$). Si $f'$ est croissante, $f$ est convexe ; si $f'$ est décroissante, $f$ est concave.
• Lecture graphique de $f'$ : L'élève doit être capable d'interpréter la courbe de la dérivée pour en déduire les variations de la fonction primitive $f$. Le point clé est d'observer le signe de la courbe : là où la courbe de $f'$ est au-dessus de l'axe des abscisses, $f$ est croissante. L'annulation de la dérivée avec changement de signe indique un extremum local.

4. Algorithmique et Python

La dernière question porte sur une modélisation d'évolution (augmentation en pourcentage) traduite en langage Python. Pour identifier le bon script, il faut :

• Reconnaître qu'une augmentation de 3% correspond à une multiplication par $1,03$.
• Identifier la structure de boucle while (tant que) nécessaire pour les problèmes de seuil (chercher quand une valeur est dépassée), par opposition à la boucle for utilisée pour un nombre d'itérations connu à l'avance.
• Vérifier la condition d'arrêt et l'initialisation des variables.