Analyse pédagogique de l'exercice : La synthèse du propanoate d'isoamyle

Cet exercice issu de l'épreuve de Physique-Chimie et Mathématiques (PCM) du Bac STL 2025 (Métropole) illustre parfaitement l'interdisciplinarité entre les mathématiques et les sciences de laboratoire. Le sujet porte sur la modélisation de la concentration d'un réactif, l'acide propanoïque, au cours de la synthèse d'un arôme alimentaire. L'approche privilégie la manipulation des fonctions logarithmiques et exponentielles dans un cadre concret de cinétique chimique.

Compétences techniques et mathématiques requises

• Manipulation des fonctions réciproques : La question 7 nécessite de maîtriser la relation fondamentale $\ln(a) = b \iff a = e^b$. Passer d'une modélisation linéaire du logarithme à une modélisation exponentielle est un classique des épreuves de STL.
• Calcul de limites et comportement asymptotique : L'étude de la limite en $+\infty$ pour une fonction de type $e^{-kt}$ avec $k > 0$ est essentielle. Cela permet de valider le modèle physique : le réactif est consommé et sa concentration tend vers zéro.
• Lecture et interprétation graphique : La capacité à faire le lien entre un résultat mathématique (limite nulle) et une courbe expérimentale présentant une asymptote horizontale est une compétence clé du cycle terminal.

Décryptage du corrigé

Pour la question 7, le candidat doit appliquer l'exponentielle aux deux membres de l'équation $\ln(C(t)) = -0,154t + 2,01$. En utilisant la propriété $e^{a+b} = e^a \times e^b$, on retrouve immédiatement la forme demandée. La valeur $e^{2,01} \approx 7,5$ correspond à la concentration initiale à $t=0$.

Concernant la limite, puisque $-0,154t$ tend vers $-\infty$ quand $t$ tend vers $+\infty$, la limite de l'exponentielle est 0 par composition. Physiquement, cela traduit la consommation quasi-totale de l'acide propanoïque au cours du temps, ce qui est confirmé par la Figure 1 où les points expérimentaux se rapprochent de l'axe des abscisses.

Conseils de révision pour le Bac STL

Pour réussir ce type d'exercice, il est conseillé de s'entraîner sur les régressions linéaires transformées. En chimie, de nombreuses lois (Vitesse de réaction, Loi de Beer-Lambert) utilisent ces fonctions. Savoir passer d'une échelle logarithmique à une échelle linéaire est indispensable pour les futurs techniciens et ingénieurs issus de la filière STL.