Analyse pédagogique du sujet STL 2025 Métropole

Cet exercice, issu de la session de juin 2025 pour la série STL, constitue un excellent test de réflexes sur les fondamentaux de l'analyse. Il se compose de quatre questions indépendantes, une structure classique qui permet d'évaluer la fluidité de l'élève sur des compétences ciblées : calcul d'images, dérivation, propriétés des puissances et vérification de solutions d'équations différentielles.

La fonction logarithme népérien et la dérivation

La première partie de l'exercice sollicite la fonction $f(x) = 5x^2 - 2x + 8 \ln(x)$. La question 1 demande un calcul d'image simple mais crucial. La difficulté réside souvent dans l'oubli de la valeur de $\ln(1)$, qui est égale à $0$. Ainsi, $f(1) = 5(1)^2 - 2(1) + 8\ln(1) = 5 - 2 + 0 = 3$.

La question 2 aborde la dérivation. Ici, l'élève doit appliquer la linéarité de la dérivation et connaître par cœur la dérivée de $\ln(x)$, qui est $1/x$. La fonction dérivée obtenue est $f'(x) = 10x - 2 + \frac{8}{x}$. Cette compétence est le socle de l'étude des variations de fonctions en STI2D et STL.

Propriétés de l'exponentielle et algèbre

La question 3 est un pur exercice de manipulation algébrique sur les puissances de $e$. La règle appliquée ici est $\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$. Avec $A = \frac{e^{-12}}{e^3}$, le résultat est $e^{-12-3} = e^{-15}$. Ce type de question, bien que simple, vérifie la solidité des bases opératoires nécessaires pour les calculs de signaux ou de cinétique chimique.

Équations différentielles : La vérification de solution

Enfin, la question 4 traite des équations différentielles linéaires du premier ordre de la forme $y' = ay + b$. Au lieu de résoudre l'équation, l'énoncé demande de vérifier qu'une fonction donnée est solution. C'est une méthode classique :

1. On dérive $f(x)$ : $f'(x) = 4 \times 3 e^{3x} = 12e^{3x}$.
2. On calcule le second membre $3f(x) - 12$ : $3(4e^{3x} + 4) - 12 = 12e^{3x} + 12 - 12 = 12e^{3x}$.
3. On constate l'égalité $f'(x) = 3f(x) - 12$.

Compétences techniques requises

• Maîtrise des limites et valeurs particulières des fonctions usuelles ($\ln$ et $\exp$).
• Utilisation des règles de dérivation ($x^n$, $\ln(x)$, $e^{ux}$).
• Manipulation des puissances relatives.
• Rigueur dans la démonstration d'une solution d'équation différentielle.