Analyse Pédagogique du Sujet STL Mayotte 2022

Cet exercice de mathématiques, issu de la session de mai 2022 à Mayotte pour la filière STL, est un modèle d'évaluation transversale. Il propose un système de choix (4 questions sur 6), permettant aux élèves de démontrer leurs compétences sur différents piliers du programme de terminale. L'exercice mêle habilement l'analyse graphique, le calcul algébrique pur et l'application physique (acoustique).

Compétences Techniques de l'Analyse Fonctionnelle

Les deux premières questions sollicitent la lecture graphique et la compréhension profonde du lien entre une fonction et ses outils d'analyse (tangente et primitive). La question 1 demande de retrouver le coefficient directeur d'une tangente via deux points, rappelant que $h'(a)$ est physiquement la pente de cette droite. La question 2 teste la maîtrise du théorème fondamental de l'analyse : le sens de variation d'une primitive $H$ est dicté par le signe de sa dérivée, à savoir la fonction $h$. Ici, l'élève doit observer où la courbe est au-dessus ou en-dessous de l'axe des abscisses.

Équations Différentielles et Croissance

La question 3 aborde les équations différentielles linéaires du premier ordre de type $y' = ay + b$. C'est une compétence cruciale en STL pour modéliser des phénomènes physiques ou chimiques. La résolution nécessite l'application de la formule de cours $f(x) = C e^{ax} - b/a$ suivie de l'ajustement de la constante $C$ grâce à la condition initiale $f(0) = 100$. La question 4, quant à elle, se concentre sur l'étude d'une fonction exponentielle, exigeant la maîtrise de la dérivée d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ et l'analyse de signe d'une expression composée.

Logarithmes et Applications Acoustiques

Les questions 5 et 6 font le pont avec la physique (le niveau sonore en dB). L'usage du logarithme décimal ($ ext{Log}$) est central. La question 6 est particulièrement intéressante d'un point de vue mathématique : elle demande de démontrer une propriété de proportionnalité logarithmique. Montrer que baisser le niveau de 10 dB revient à diviser l'intensité sonore par 10 nécessite une manipulation rigoureuse des propriétés fonctionnelles du logarithme : $ ext{Log}(A) - ext{Log}(B) = ext{Log}(A/B)$.