Analyse pédagogique du sujet : Modélisation de la charge d'une batterie

Cet exercice de spécialité Mathématiques du Bac STL 2022 porte sur une thématique centrale : la modélisation d'un phénomène physique par une fonction exponentielle. Le sujet propose une approche progressive, typique des épreuves de STI2D et STL, mêlant analyse de fonctions, calcul intégral et algorithmique.

Compétences techniques requises

• Analyse de limites : Comprendre le comportement asymptotique d'une fonction $e^{-t}$ pour déterminer les constantes d'un modèle.
• Calcul de dérivée : Maîtriser la forme $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$ pour justifier le sens de variation (charge croissante).
• Résolution d'équations : Isoler l'inconnue $t$ dans une égalité comportant une exponentielle, impliquant l'usage du logarithme népérien ($\ln$).
• Algorithmique : Interpréter une boucle while en Python et comprendre le pas de temps choisi (ici 1/60e d'heure, soit une minute).
• Calcul intégral : Vérifier une primitive et appliquer la formule de la valeur moyenne sur un intervalle donné.

Décryptage de l'exercice

La première partie demande de fixer les paramètres du modèle. C'est un point crucial : une erreur sur $a$ ou $b$ compromet la suite, bien que l'énoncé fournisse heureusement la fonction finale pour les questions suivantes. La question sur la demi-charge est un grand classique (similaire à la demi-vie en physique-chimie) qui teste la capacité de l'élève à manipuler les logs.

La partie Python est intéressante car elle simule une méthode numérique pour trouver un temps d'atteinte. Le paramètre 0.15 correspond à 15 % de la charge maximale. Enfin, la question sur l'énergie moyenne utilise la notion de primitive. L'élève doit démontrer une rigueur de rédaction, notamment pour la vérification de la primitive $F$ par dérivation.

Conseils de révision

Pour réussir ce type d'exercice, il est essentiel de savoir passer rapidement des heures aux minutes/secondes. L'interprétation du contexte physique (énergie en kWh) est la clé pour ne pas se perdre dans les calculs abstraits. Ce sujet est un excellent entraînement pour l'épreuve finale car il couvre environ 30 % du programme d'analyse de terminale.