Analyse du QCM : Logarithmes et Probabilités

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Amérique du Nord 2022, Sujet 2) est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) composé de six questions indépendantes. Il balaie deux thèmes majeurs du programme de Terminale : l'analyse avec la fonction logarithme népérien et les probabilités avec la loi binomiale. Ce type d'exercice demande de la rapidité et une bonne maîtrise des formules fondamentales.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir ce QCM sans tomber dans les pièges classiques, voici les points méthodologiques essentiels à maîtriser :

• Propriétés algébriques du logarithme : La première question teste la capacité à simplifier des expressions contenant des logarithmes. Il est impératif de connaître par cœur les formules de transformation : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$, $\ln(1/a) = -\ln(a)$ et $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$. Une simplification rigoureuse permet d'identifier rapidement la bonne forme parmi les choix proposés.
• Résolution d'équations logarithmiques : La deuxième question aborde une équation du type $\ln(A) + \ln(B) = \ln(C)$. La clé de la réussite réside ici dans l'étude préalable du domaine de définition. Avant toute résolution algébrique, il faut déterminer pour quelles valeurs de $x$ les expressions existent. Cela permet d'éliminer les "fausses solutions" qui rendraient un logarithme indéfini.
• Étude de fonction et dérivation : La troisième question porte sur une fonction produit $u \times v$ faisant intervenir le logarithme. Il faut savoir appliquer la formule de dérivation du produit $(uv)' = u'v + uv'$ et étudier le signe de la dérivée pour en déduire les variations. De plus, la notion de tangente (équation $y = f'(a)(x-a) + f(a)$) est sollicitée pour vérifier une affirmation géométrique.
• Modélisation probabiliste (Loi Binomiale) : Les trois dernières questions forment un bloc cohérent sur les probabilités. L'élève doit reconnaître une répétition d'épreuves identiques et indépendantes (tirage avec remise) caractérisant un schéma de Bernoulli. Il faut identifier les paramètres $n$ (nombre de tirages) et $p$ (probabilité du succès : tirer un jeton jaune).
• Calculs de probabilités et Espérance :
  • Savoir calculer une probabilité exacte $P(X=k)$ à l'aide des coefficients binomiaux.
  • Maîtriser l'événement contraire pour calculer la probabilité "d'au moins un succès" ($1 - P(X=0)$), ce qui est souvent plus rapide que d'additionner plusieurs cas.
  • Connaître la formule de l'espérance mathématique pour une loi binomiale ($E(X) = n \times p$) afin de répondre à la question sur la moyenne.

Ce QCM est un excellent entraînement pour vérifier l'acquisition des automatismes de calcul sur les logarithmes et la compréhension globale de la loi binomiale.