Analyse de l'exercice : Modélisation d'un capteur de température
Cet exercice issu de la session de septembre 2023 pour la spécialité Physique-Chimie et Mathématiques (PCM) est un cas d'école de l'application des mathématiques aux systèmes techniques de la vie courante. Il se concentre sur une thermistance CTN (Coefficient de Température Négatif) intégrée dans un lave-linge. Pour un élève de terminale STI2D, cet exercice permet de valider la maîtrise des fonctions de type exponentielle, qui sont omniprésentes dans l'étude des phénomènes de transfert thermique et de décharge électrique.
Compétences techniques et mathématiques requises
L'exercice s'articule autour de trois piliers fondamentaux du programme :
- Lecture graphique et interprétation : Savoir passer de l'unité kΩ à Ω (10 kΩ = 10 000 Ω) pour identifier le point critique sur la courbe.
- Résolution d'équations avec le logarithme népérien : Pour isoler la variable T située dans l'exposant, l'usage de la fonction ln est indispensable après avoir isolé l'exponentielle. La résolution de $R(T) = 10000$ demande de transformer l'équation sous la forme $e^u = b$.
- Dérivation de fonctions composées : La fonction $R(T)$ est de la forme $C imes e^{u(T)}$. Il est crucial de se rappeler que la dérivée de $e^{at}$ est $a imes e^{at}$. Ici, le signe négatif de l'exposant confirme le caractère décroissant de la résistance par rapport à la température (principe même d'une CTN).
Approche pédagogique et conseils de rédaction
La question 7 introduit la notion de sensibilité, définie comme l'opposée de la dérivée ($S = -dR/dT$). C'est un concept clé en ingénierie : plus la pente est raide, plus le capteur est précis. Pour démontrer que la sensibilité est 12 fois plus grande à 30°C qu'à 90°C, l'élève doit manipuler les propriétés de l'exponentielle : $e^a / e^b = e^{a-b}$. En calculant le rapport $S(30)/S(90)$, on obtient $e^{-0,042 imes 30} / e^{-0,042 imes 90} = e^{2,52}$, ce qui est environ égal à 12,4. La rédaction doit être rigoureuse, notamment sur les unités de la dérivée (Ω · °C⁻¹).
Pourquoi cet exercice est-il typique du BAC STI2D ?
Le sujet mélange habilement l'analyse mathématique pure et le contexte technique. Il ne demande pas seulement de calculer, mais de valider un modèle expérimental par le calcul algébrique. La comparaison entre la valeur lue graphiquement (Question 4) et la valeur calculée (Question 5) est une démarche scientifique standard évaluée au baccalauréat.