Analyse Pédagogique du Sujet

Cet exercice, extrait de la session de septembre 2023 en Nouvelle-Calédonie pour la spécialité PCM (Physique-Chimie et Mathématiques), est un classique de la modélisation en STI2D. Il demande à l'élève de lier des concepts d'analyse pure à une problématique concrète : la montée en température d'un bloc moteur thermique suite à un changement de carburant.

Compétences Techniques Requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences clés du programme de Terminale STI2D sont mobilisées :

• Résolution d'équations différentielles : Il faut reconnaître la forme y' = ay + b. La solution générale est de la forme f(t) = C exp(at) - b/a. Ici, avec a = -1/180 et b = 4/9, le calcul du rapport -b/a donne 80, ce qui correspond à la température limite (asymptote horizontale).
• Utilisation des conditions initiales : L'exploitation de la température au démarrage (t = 0) permet de déterminer la constante d'intégration C. C'est une étape cruciale pour obtenir l'expression unique de la fonction θ.
• Manipulation des fonctions logarithmes : La résolution de l'équation θ(t) = 79 nécessite de savoir isoler l'exponentielle puis d'appliquer la fonction logarithme népérien (ln) pour 'descendre' la variable t de l'exposant.
• Interprétation physique : L'élève doit convertir un résultat en secondes vers un contexte temporel en minutes pour répondre à la problématique métier.

Décryptage de la Modélisation

La fonction θ(t) = 80 - 60 exp(-t/180) montre que la température du moteur tend vers 80°C lorsque le temps tend vers l'infini. Le coefficient 1/180 dans l'exponentielle représente l'inverse d'une constante de temps (notée τ en physique), qui régit la vitesse de chauffe. Ce type d'exercice prépare idéalement aux épreuves de spécialité en montrant que les mathématiques sont l'outil de base de l'ingénieur pour valider un cahier des charges technique.