Analyse de l'Exercice : Modélisation Thermique en STI2D

Cet exercice, issu de l'épreuve de Physique-Chimie et Mathématiques (PCM) du Bac STI2D 2022 en Métropole, porte sur l'application des fonctions exponentielles à un problème concret de l'agroalimentaire : le refroidissement du lait. C'est un grand classique de l'examen qui mobilise des compétences transversales entre les mathématiques et la physique.

Analyse pédagogique et Compétences requises

L'exercice repose sur l'étude d'une fonction de type f(t) = Ce^{kt} + A. Les élèves doivent démontrer leur capacité à interpréter les paramètres d'un modèle mathématique. Les points clés incluent :

• Évaluation à l'état initial : Le calcul de T(0) permet de vérifier la cohérence du modèle avec les données de l'énoncé (température de chauffe à 63,4 °C).
• Comportement asymptotique : La recherche de la limite en +∞ est fondamentale. Elle correspond physiquement à l'équilibre thermique avec le milieu ambiant.
• Résolution d'équations : L'utilisation du logarithme népérien (ln) est indispensable pour isoler la variable temporelle 't' lorsqu'elle se trouve en exposant.

Décryptage technique des questions

La question 4 demande simplement de remplacer t par 0. Puisque e^0 = 1, on retrouve T(0) = 37 + 26,4 = 63,4. Cela confirme que le modèle démarre bien à la température initiale du lait. La question 5 explore la limite : quand t tend vers +∞, l'exposant négatif tend vers -∞, donc l'exponentielle tend vers 0. Il reste 26,4, ce qui représente la température ambiante de la pièce. Enfin, la question 6 nécessite une manipulation algébrique rigoureuse : il faut isoler l'exponentielle, appliquer le ln des deux côtés, puis effectuer une conversion précise des minutes décimales en minutes et secondes.