Introduction : L'importance des Mathématiques en filière STL

L'épreuve de mathématiques pour la spécialité Physique-Chimie et Mathématiques du baccalauréat STL (Sciences et Technologies de Laboratoire) demande une maîtrise technique rigoureuse alliée à une capacité d'interprétation concrète. Le sujet de la session 2023 à la Réunion illustre parfaitement cette double exigence, en se concentrant sur les fonctions exponentielles, les outils de calcul intégral et la modélisation de phénomènes d'évolution.

Analyse de la Question 1 : Résolution d'une inéquation exponentielle

La première question porte sur la résolution de l'inéquation e^{2t} > 0,12. Pour un élève de STL, ce type d'inéquation est monnaie courante en cinétique chimique ou lors de l'étude de la décroissance radioactive. La méthode consiste à appliquer la fonction logarithme népérien (ln), fonction réciproque de l'exponentielle, pour isoler la variable t.

La difficulté réside ici dans la manipulation des signes et la précision des valeurs. En passant au logarithme, on obtient 2t > ln(0,12), soit t > ln(0,12)/2. Ce calcul permet de déterminer, par exemple, le temps nécessaire pour qu'une concentration de réactif dépasse un certain seuil de sécurité dans un bioréacteur.

Analyse de la Question 2 : Primitives et Intégration

La recherche de primitives est une compétence clé pour le calcul de surfaces ou de quantités accumulées. Dans cet exercice, il s'agit de trouver le coefficient a tel que la fonction F(t) = a*e^{2t+6} soit une primitive de f(t) = 6*e^{2t+6}.

En dérivant F(t), on obtient F'(t) = 2a*e^{2t+6}. Par identification, on trouve 2a = 6, soit a = 3. La question suivante sur l'existence d'une autre primitive rappelle une propriété fondamentale : deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante réelle C. En laboratoire, cette constante représente souvent les conditions initiales d'une expérience (concentration à t=0, température de départ, etc.).

Analyse de la Question 3 : La fonction logistique et saturation

La modélisation de l'équipement informatique par une fonction logistique est un exercice classique de transfert de compétences. La fonction f(t) = 94,6 / (1 + e^{0,6 - 0,2t}) représente la part des habitants équipés. L'enjeu est de démontrer que ce taux ne dépasse jamais 94,6 %.

Mathématiquement, cela revient à analyser le dénominateur : puisque la fonction exponentielle est strictement positive, 1 + e^{0,6 - 0,2t} est toujours strictement supérieur à 1. Par conséquent, la fraction est toujours inférieure au numérateur. En STL, ce modèle est identique à celui de la croissance bactérienne en milieu limité (modèle de Verhulst), où la population atteint un plateau (capacité de charge) dû à l'épuisement des ressources.

Analyse de la Question 4 : Limites et Croissances Comparées

La dernière question porte sur la limite en +∞ de f(x) = e^x / (x^2 + 26x). C'est un cas typique de « forme indéterminée » que l'on lève grâce au théorème des croissances comparées. En terminale STL, il est essentiel de savoir que l'exponentielle « l'emporte » toujours sur les puissances de x (polynômes) au voisinage de l'infini.

En factorisant par le terme de plus haut degré au dénominateur, on montre que la limite est +∞. Cette notion est cruciale pour comprendre la divergence de certains phénomènes physiques ou l'instabilité de réactions exothermiques non contrôlées.

Conclusion

Ce sujet de Bac STL 2023 Réunion balaie les piliers de l'analyse nécessaires à tout futur technicien supérieur ou ingénieur. La maîtrise de l'outil exponentiel et la compréhension des limites de modèles sont les clés de la réussite. Pour s'entraîner efficacement, il est conseillé de refaire ces exercices en se focalisant sur la rédaction et la justification des étapes de calcul.