Analyse du Sujet de Bac STI2D - Métropole Septembre 2021

Le sujet de la session de remplacement (septembre) 2021 pour la série STI2D en Métropole est un outil de révision exceptionnel. Il balaie un spectre très large du programme de spécialité mathématiques, avec une forte inclinaison vers les applications concrètes en ingénierie et en sciences physiques. En tant qu'expert, je vous propose une analyse didactique et technique de cet examen pour optimiser votre préparation.

Structure et Approche du Sujet

Le sujet se présente sous la forme d'un QCM à justifications, un format exigeant qui ne pardonne pas les approximations. L'élève doit choisir 4 questions sur 6, ce qui permet une stratégie de sélection basée sur ses points forts (Analyse vs Algèbre Complexe). Chaque affirmation demande une démonstration rigoureuse, mêlant calcul littéral, manipulation de fonctions transcendantes et interprétation physique.

Exercice 1 : Analyse de Fonctions et Exponentielles

La Question 1 porte sur l'étude de variations de la fonction $f(x) = x^2 e^x$. C'est un classique de la STI2D. La difficulté réside dans le calcul de la dérivée via la formule $(uv)'$. On obtient $f'(x) = (2x + x^2)e^x$. Le signe de la dérivée dépend du trinôme $x(2+x)$. L'affirmation de croissance sur $\mathbb{R}$ est donc fausse, car la fonction décroît entre ses racines -2 et 0. C'est une excellente mise en garde sur l'utilisation du signe de l'exponentielle.

Exercice 2 : Logarithme et Changement d'Unités

La Question 2 introduit une dimension spatiale avec la fonction $\ln(2x+1)$. Le défi ici n'est pas seulement mathématique (résoudre une inéquation logarithmique), mais également métrologique. Passer de centimètres à kilomètres demande une vigilance sur les puissances de 10. En résolvant $y > 15$, on arrive à une valeur de $x$ dépassant les 1,6 million de centimètres, soit plus de 16 km. Une question parfaite pour tester le sens physique de l'élève STI2D.

Exercice 3 : Radioactivité et Modélisation

La Question 3 connecte directement les mathématiques au programme de physique-chimie. On étudie la désintégration du Thorium 231. L'élève doit maîtriser la notion de demi-vie ($T_{1/2}$). La relation $e^{-0,027t} = 0,5$ mène à $t = \ln(2) / 0,027$. Le résultat (environ 25,6 h) invalide l'affirmation de 11 heures. Cela rappelle l'importance de la précision dans les modèles de décroissance radioactive.

Exercice 4 : Équations Différentielles du Second Ordre

La Question 4 traite de l'équation $y'' + y = 0$, modélisant typiquement un oscillateur harmonique sans amortissement (système masse-ressort ou circuit LC). La vérification de la solution $f(t) = \cos(t) + 2\sin(t)$ demande deux dérivations successives et l'injection des conditions initiales. C'est une question pivot pour les futurs étudiants en BTS ou IUT industriel.

Exercice 5 : Nombres Complexes et Puissances

La Question 5 utilise les complexes sous forme algébrique pour aboutir à une propriété géométrique. En simplifiant $z = (2-i)/(1-3i)$, on obtient la forme remarquable $z = 0,5(1+i)$, soit une forme exponentielle avec un argument de $\pi/4$. Élever ce nombre à la puissance 4 donne un argument de $\pi$, ce qui confirme que $z^4$ est un réel négatif. Une maîtrise des formules de Moivre est ici un atout majeur.

Exercice 6 : Géométrie Plane et Complexes

Enfin, la Question 6 demande de caractériser un triangle (ABC). Le calcul des modules $|z_B - z_A|$, $|z_C - z_A|$ et $|z_C - z_B|$ permet de vérifier les longueurs des côtés. Si le triangle est bien isocèle, l'usage du théorème de Pythagore (ou du produit scalaire via les affixes) permet de conclure sur l'absence d'angle droit. Une question de pure rigueur géométrique.

Conclusion et Conseils de Révision

Ce sujet de septembre 2021 souligne que le Bac STI2D n'est pas qu'une affaire de calcul, mais de compréhension des outils. Pour réussir, concentrez-vous sur :
1. La maîtrise des dérivées composées.
2. La manipulation des logarithmes et exponentielles pour les problèmes de temps.
3. Le passage rapide entre forme algébrique et forme polaire pour les complexes.