Analyse du QCM de géométrie dans l'espace

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2024 (Amérique du Nord, Sujet 1) est un Questionnaire à Choix Multiple (QCM) classique portant intégralement sur la géométrie dans l'espace. Il permet d'évaluer la maîtrise des coordonnées, des vecteurs et des équations caractérisant les droites et les plans.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice sans calculatrice et optimiser son temps, le candidat doit maîtriser les notions fondamentales suivantes :

• Représentation paramétrique d'une droite : Savoir déterminer un vecteur directeur $\vec{u}$ à partir de deux points A et B, puis vérifier laquelle des propositions correspond au système d'équations paramétriques utilisant ce vecteur et passant par l'un des points. Il est crucial de savoir identifier rapidement les coefficients de $t$ comme étant les coordonnées du vecteur directeur.
• Appartenance d'un point à une droite : Être capable de tester les coordonnées d'un point dans une représentation paramétrique donnée. Cela revient à résoudre le système pour trouver une valeur de paramètre $t$ unique et cohérente pour les trois coordonnées $x, y, z$.
• Position relative de deux droites : Savoir distinguer si deux droites sont sécantes, parallèles, confondues ou non coplanaires. La méthode consiste d'abord à observer la colinéarité des vecteurs directeurs. S'ils ne sont pas colinéaires, il faut résoudre un système pour déterminer si elles ont un point d'intersection ou si elles sont non coplanaires (pas de solution).
• Équation cartésienne d'un plan : Comprendre le lien géométrique entre une droite perpendiculaire à un plan et le vecteur normal de ce plan. Ici, le vecteur directeur de la droite $(d)$ sert de vecteur normal au plan $(P)$. Il suffit ensuite d'utiliser les coordonnées du point I pour déterminer la constante de l'équation cartésienne de la forme $ax + by + cz + d = 0$.

Ce type d'exercice demande de la rigueur dans le calcul mental et une bonne visualisation des objets géométriques dans l'espace rapporté à un repère orthonormé.