Analyse de l'Exercice 3 : Un QCM transversal pour le Bac de Spécialité Maths

L'exercice 3 du sujet 2 du Baccalauréat 2024 en Asie propose un format classique de type « Vrai ou Faux ». Ce type d'exercice est particulièrement exigeant car il nécessite de maîtriser plusieurs chapitres distincts du programme de Terminale. Chaque affirmation demande une justification rigoureuse ; une réponse exacte sans démonstration ne rapporte aucun point. Voici une analyse détaillée des compétences requises pour réussir cet exercice.

Compétences et clés de réussite

1. Analyse asymptotique et Théorème des Gendarmes

La première affirmation porte sur l'étude de la limite d'une suite $(u_n)$. La suite est encadrée par une constante et une suite rationnelle. Pour vérifier l'affirmation, l'élève doit être capable de :

• Calculer la limite d'une fraction rationnelle en l'infini (en factorisant par les termes de plus haut degré, ici $n^2$).
• Identifier la structure d'un encadrement propice à l'application du théorème des gendarmes (ou d'encadrement).
• Comparer la limite trouvée avec la borne inférieure donnée dans l'énoncé.

2. Convexité et lien avec la dérivée première

La deuxième question est une lecture graphique subtile. On fournit la courbe de la fonction dérivée $h'$ et non celle de la fonction $h$. La clé de la réussite réside dans la connaissance parfaite des liens entre :

• La convexité de $h$.
• Les variations de sa dérivée $h'$.
• Le signe de sa dérivée seconde $h''$.

Ici, pour affirmer si $h$ est convexe sur un intervalle donné, il faut observer si la courbe de $h'$ est croissante sur cet intervalle.

3. Dénombrement et principe de l'événement contraire

L'affirmation 3 traite de combinatoire appliquée à la création de codes (chiffres et lettres). La difficulté réside souvent dans la formulation « au moins un ». Les compétences clés incluent :

• La distinction entre un arrangement (ordre important) et une combinaison.
• L'utilisation du principe multiplicatif pour combiner les choix de chiffres et de lettres.
• Le réflexe de passer par l'événement contraire (aucun zéro) pour simplifier le calcul lorsqu'on cherche « au moins un zéro », puis de soustraire ce résultat au nombre total de combinaisons.

4. Vérification d'une solution d'équation différentielle

Enfin, la dernière affirmation demande de vérifier si une fonction $f(x) = x \ln x$ est solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre. L'approche attendue n'est pas nécessairement de résoudre l'équation différentielle, mais plutôt de :

• Dériver correctement la fonction $f$ (dérivée d'un produit $uv$).
• Injecter $f(x)$ et $f'(x)$ dans l'égalité donnée ($xy' - y = x$).
• Vérifier si l'égalité est vraie pour tout $x$ de l'intervalle.

Cet exercice permet de balayer largement le spectre des connaissances attendues en fin de Terminale, valorisant la polyvalence et la rigueur de la justification.